对一道涉及复合场竞赛题的思考与讨论

王颍水

(河南省郑州市第一高级中学,河南郑州 450000)

对一道涉及复合场竞赛题的思考与讨论

王颍水

(河南省郑州市第一高级中学,河南郑州 450000)

图1

分析:本题是一道求解带电质点在复合场中的运动问题.现在有不少竞赛辅导资料选用此题做为能力训练题.但学生普遍感到这类问题比较难,往往不知如何下手,并会产生一些疑惑,概括起来共有以下3点:①带电质点在复合场中的轨迹方程怎样建立?②质点在运动过程中会不会出现匀速直线运动过程?③如果质点能运动到最低点,那么在最低点的曲率半径与该点到x轴的距离有什么关系?

下面首先运用牛顿第二定律这一最基本的解题方法求出轨迹方程,然后对轨迹方程进行分析,从而找出更巧妙的解题方法,并进行讨论,回答学生的有关疑问.

解法1:利用牛顿定律求解

令t=0时,质点在O点的速度为v0,方向沿y轴正方向,t时刻质点到达p点,受有重力mg和洛伦兹力qvB,如图 2所示,将速度v分解为沿x轴和y轴的两个分量vx和vy.则洛伦兹力在x方向和y方向的分量分别为

图2

思考:全国中学生物理竞赛明文规定,在处理竞赛问题时,要求学完中学阶段的全部初等数学知识.不要求用微积分进行推导和运算.那么本题能否用初等数学知识求解呢?答案是肯定的.因为根据(14)和(15)两式可知,带电质点的轨迹形状是一根摆线(又称旋轮线).在数学上,一个动圆沿着一条直线作纯滚动时,动圆圆周上一点所画出的平面曲线就是摆线.因此在物理上,从运动的合成和分解的角度来看,本题中带电质点在磁场的运动可视为两个分运动:①沿x轴正方向做匀速直线运动,②相对于动圆圆心做匀速圆周运动.下面从这一观点推导出质点的轨迹方程.

解法2:利用运动合成和分解的方法求解

如图3所示,在t=0时,将v0分解为沿正x轴方向的速度v1和倾斜向下的速度v2且使v1满足

图3

可见:质点m在磁场中的运动是这样的两个分运动,①从坐标原点开始沿正x轴方向做匀速直线运动,其速度大小为v1=2m/s,②绕动圆圆心O′逆时针做匀速圆周运动.其速度大小为v2=22 m/s.而动圆圆心的速度为v1=2 m/s,方向沿x轴正方向.

因为洛伦兹力充当向心力,即

设t时刻的质点位于动圆上的P点,如图4所示.

图4

讨论:①由(18)和(19)两式可知,带电质点的ax和ay不可能同时为零,即质点运动过程中其加速度不可能为零,因此质点不可能从某一时刻开始做匀速直线运动.

②设磁场上、下边界之间的距离L足够大,则质点在运动过程中与x轴的最大距离H和此时轨迹的曲率半径r的关系是

证明如下:

据图5知,质点在第一次下降的最大距离为

如图6,设质点在最低点D处的速度为v,据速度合成定理知

又在最低点,据牛顿第二定律

③一个复杂的运动可以分解为几个较简单的运动来处理,这种化难为易,化繁为简的解题思想方法在高中物理竞赛中经常应用,较简单的运动主要是指匀速直线运动,匀加速直线运动,匀速圆周运动等.我们只有在平时的教学中,将基础知识活化,对习题进行拓展和挖掘,才能使学生会用最基本的知识去解决较繁,较难的问题,这就是能力的培养过程.

④在教学中,我们要正确处理高考与竞赛,学科内与学科间,中学与大学中某些知识点的交汇关系,(如本题中的摆线就是一个常见的曲线,涉及知识点比较多,但中学数学没有涉及这一内容.)我们要将这些内容有机的衔接,因为在这些衔接中教师的解题思想和解题方法会对学生产生潜移默化的影响.长此以往,会使学生的学科思想和解题能力得到大幅度的提高,终身受益.

2010-07-21)