航天器开普勒轨道和非开普勒轨道的定义、分类及控制*

2009-12-12孙承启

空间控制技术与应用 2009年4期

关键词：开普勒天体制导

孙承启

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空间智能控制技术国家级重点实验室，北京100190）

航天器开普勒轨道和非开普勒轨道的定义、分类及控制*

孙承启1，2

（1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空间智能控制技术国家级重点实验室，北京100190）

给出了航天器开普勒轨道（KO）和非开普勒轨道（NKO）的来源、定义、分类和特点，阐明了KO和NKO之间的关系，介绍了相关的轨道控制与轨道确定、制导与导航的涵义.

开普勒轨道；非开普勒轨道；轨道分类；轨道控制；轨道确定

人类科学认识天体运动是从哥白尼（1473—1543）开始的，开普勒（1571—1630）根据前人的天文观测资料总结出了行星绕太阳运动的三大定律，被后人称为开普勒三定律.开普勒和伽利略（1564—1642）之后，牛顿（1642—1727）提出了万有引力定律和物体运动的三大定律（后人称之为牛顿三定律），以此为基础的牛顿力学是天体力学的基础，也是航天动力学的基础.开普勒定律给出了行星（也适用于航天器）轨道运动规律的运动学描述，牛顿力学则是对这种轨道运动规律给出了动力学意义下的解释.开普勒定律可以用牛顿力学得到严格证明.从哥白尼的日心地动说的提出到牛顿力学的建立是人类认识宇宙的第一次飞跃［1］.

二体问题是天体力学中的一个基本问题，它是指可视为质点的两个天体在相互间唯一的万有引力作用下的运动规律问题.二体问题可以用牛顿万有引力定律和牛顿运动定律来描述并得到完全解决.开普勒三定律是二体问题的解.在二体问题的假设条件下，进一步假设主天体的质量远远大于次天体（或航天器）的质量，且认为主天体是惯性固定的，就成了限制性二体问题［2］.

航天器轨道是指航天器在天体引力和其它外力作用下其质心运动的轨迹.由于受到天体中心引力以外的其它外力的作用，航天器的轨道运动实际上并不严格遵循二体问题的解，这发生在航天器受到地球非球形及质量分布不均匀、大气阻力、太阳光压、其它天体的引力等自然环境摄动力作用的情况，也发生在航天器受到其主动产生的控制力作用的情况.这些情况下航天器的轨道不再是严格的有时甚至根本不是理想的开普勒轨道了，于是提出了非开普勒轨道问题.本文打算从轨道动力学和轨道控制的角度给出航天器开普勒轨道（KO）和非开普勒轨道（NKO）的定义和分类，把航天器开普勒轨道分为理想KO和视同KO两大类，把航天器非开普勒轨道分为非本质 NKO和本质 NKO两大类，这两类NKO中又有自然（被动）的和人为（主动）的两种情况，重点介绍本质NKO的分类及典型例子.本文最后简要介绍与航天器轨道密切相关的轨道控制和轨道确定问题，给出了航天器制导和导航的含义.

除非特别说明，本文所说的航天器轨道是指航天器相对于天体的运行轨道，而不是指两个航天器之间的相对轨道.

1 开普勒轨道

1.1 开普勒轨道的名词来源

作为一个名词术语，开普勒轨道来自开普勒三定律，起源于对行星绕太阳的运动规律——行星轨道问题的研究.“开普勒轨道”这个名词是开普勒以后的人提出来的，并把开普勒轨道扩展到二体问题的解.开普勒轨道的英文名词是 Keplerian orbits，本文把它缩写为KO.由于航天器的轨道运动也符合开普勒三定律，因此名词“开普勒轨道”同样适用于航天器.本文所说开普勒轨道大多数情况是指航天器开普勒轨道.

1.2 开普勒轨道的定义

开普勒轨道定义1：符合开普勒三定律的天体或航天器的运行轨道.

开普勒轨道定义2：由二体问题的解得到的天体或航天器的运行轨道.

所以，开普勒轨道也称为二体问题轨道.符合上述定义的开普勒轨道也称为理想的开普勒轨道.

1.3 开普勒轨道的分类和特点

开普勒轨道的分类见图1.图1中的“视同”是“可以把它看作”的意思.视同KO的特点如图1所示.

图1 开普勒轨道的分类图

航天器的开普勒轨道可由如下二体问题基本方程解得：

上述方程描述在惯性坐标系中航天器相对于天体的轨道运动.式（1）中的 r是从天体（质量记为m1）到航天器（m2）的位置矢量，μ＝G（m1＋m2）是二体系统的引力常数，G是万有引力常数.由于m1≫m2，可以只考虑 m1对 m2的引力，这种情况可把航天器开普勒轨道看成是限制性二体问题的解，即看成是在惯性固定天体中心引力场中的运动（有心力运动）轨迹.

由式（1）可以解得航天器的轨道方程

开普勒轨道可以用开普勒轨道六要素（简称轨道要素，也称轨道根数）来表示.

必须指出，航天器开普勒轨道是在一定假设下的理想轨道.人造地球卫星出现以后，仅仅按照开普勒三定律和利用二体问题不可能准确预报卫星的位置，于是提出了航天器轨道摄动问题和摄动轨道这个名词，后来出现了非开普勒轨道这个名词.

2 航天器非开普勒轨道

2.1 非开普勒轨道的名词来源

通过初步检索，non-Keplerian orbits这个名词1980年出现在 Baxter的文章中［3］.本文把非开普勒轨道缩写为NKO.本文所说的NKO主要指航天器的NKO.

2.2 非开普勒轨道的定义

非开普勒轨道定义1：不符合开普勒三定律的航天器的运行轨道.

非开普勒轨道定义2：不符合二体问题解的航天器的运行轨道.

2.3 非开普勒轨道的分类和特点

在引起航天器开普勒轨道变化（摄动或偏离或根本不符）的原因中，有些对航天器轨道的影响较小，可当作摄动来处理，有些影响较大而必须另作处理.从影响程度上可以把非开普勒轨道分为非本质NKO和本质NKO两大类，从影响源上可分为自然（或被动）NKO和人为（或主动）NKO两种.本文采用以第一种分类为主的分类法.

2.3.1 非本质NKO

非本质NKO多半是由于空间环境干扰和某些人为因素造成的.空间环境摄动力虽小，但长期作用会形成NKO.航天器发动机的漏气（产生的推力很小）及姿态控制推力器的非力偶方式工作也会引起轨道摄动.还有一些发生在航天器遭到流星或空间碎片的撞击和发动机的脉冲工作情况.当这种瞬时干扰结束后，航天器将以干扰消失时刻的轨道继续运行下去.因此非本质NKO也可以说是由于干扰力或干扰力的影响远小于主天体对航天器的引力的影响而造成的.

有些非本质NKO是很有用的.比如利用地球形状摄动可以获得太阳同步轨道、临界倾角（i＝63.4°）轨道等.

2.3.2 本质NKO

对于作用在航天器上的自然环境力或控制力对航天器轨道的影响已不能当成摄动来处理的情况，航天器就运行在本质NKO上了.由自然环境引起的本质NKO的典型例子是航天器再入大气层后的飞行轨道和三体问题轨道.

深空探测需要研究三体问题或多体问题.按照上述定义，深空探测器在三体问题中的轨道属于本质NKO，尽管它可以用干扰二体问题来处理.所谓三体问题是指研究3个可视为质点的天体在万有引力相互作用下的运动规律问题.三体问题是天体力学中的一个基本问题，可以用牛顿力学来处理.一般的三体问题没有解析解.但是对深空探测器而言，可以简化为限制性三体问题来研究.以日地系统为例，限制性三体问题有5个特解，称之为平动点或拉格朗日点（简记为L点）.在这5个点处航天器相对于原点在日地公共质心上的旋转坐标系的相对加速度等于0，即引力加速度和离心力加速度相平衡.处于某些平动点附近轨道上运行的航天器有着特殊的应用价值，比如我国计划中的夸父卫星A在日-地之间的L1点（距离地球1.5×106km）的晕轨道（过 L1点垂直于日地连线的平面附近绕L1点的运行轨道）上运行，对空间风暴、极光和空间天气进行探测和研究［4］.

2.3.3 航天器的人为本质NKO

航天器的人为本质NKO是指航天器在经常性的或连续的控制力作用下的运行轨道.可以分为受控本质NKO和乱控本质NKO.乱控本质NKO是指在航天器控制系统或推进系统出现故障的情况，航天器在不符合要求的持续推力作用下的飞行轨道.下面列举一些航天器的受控本质NKO：

1）进入或返回再入行星大气层后的受控飞行轨道，特别是有升力控制的再入段轨道；

2）空间拦截或空间交会的末制导段轨道；

3）行星软着陆制动段轨道；

4）沿V（目标航天器飞行速度）方向或沿 R（目标航天器地心矢量）方向直线靠拢时的轨道；

5）对目标航天器作任意方位绕飞时的轨道；

6）在目标航天器轨道平面外作相对位置保持时的轨道；

7）保持在目标航天器R方向某个位置上的轨道；

8）各种连续推力作用下的转移轨道；

9）复杂形状编队飞行时的轨道；

10）复杂形状星座保持时的轨道；

11）太阳帆的飞行轨道；

12）气动辅助变轨段轨道.

综上所述，可以用图2来描述航天器非开普勒轨道的分类.

3 开普勒轨道与非开普勒轨道的关系

1）航天器开普勒轨道是航天器非开普勒轨道的近似，近似程度依具体情况而异.

2）航天器开普勒轨道是对非开普勒轨道理想化的结果.

3）在某些简化条件或允许条件下，非开普勒轨道可以用开普勒轨道要素来表示.

a.对于长期受到小摄动作用的航天器轨道可以用密切轨道（瞬时开普勒轨道）来描述，或在一段不长的时间内可以用开普勒轨道来描述.

图2 非开普勒轨道的分类图

b.在短时强干扰或脉冲干扰作用前和结束后，可以用开普勒轨道来描述.

c.在航天器轨道设计时，把开普勒轨道作为标称轨道或参考轨道来使用.当主要摄动模型已知时，把考虑摄动后的理论计算轨道（视同开普勒轨道）作为标称轨道或参考轨道来使用.

4）牛顿力学是研究开普勒轨道和非开普勒轨道的共同基础.

4 航天器的轨道控制

航天器轨道控制就是通过利用或主动对航天器施加外力改变航天器质心运动的轨迹，使其沿要求的轨道到达预定目标（目标轨道或目标位置），一般包括轨道机动和轨道保持两种情况.有时把未施加控制力的轨道称为自由轨道.在不同参考坐标系中，航天器轨道的形态是不同的.以改变在惯性坐标系中的轨道形态为目的的轨道控制称为绝对轨道控制，以改变在航天器相对（动）坐标系中的轨道形态为目的的轨道控制称为相对轨道控制.轨道控制过程中的绝对轨道都是非开普勒轨道.

对航天器主动施加外力（通常是在给定方向施加一定时间的有限推力，有些情况施加变推力）的结果是航天器飞行速度（轨道运动速度）的大小和方向发生变化.变轨前后速度矢量改变量的模即速度增量的大小是轨道控制所付出的能量代价的间接度量.短时间施加的推力可视为脉冲推力，n次脉冲推力控制的结果形成了一个由n＋1段自由轨道相连的非本质NKO.但是如果施加推力的时间很长，则控制的结果是形成一段本质NKO.

轨道控制通常是先针对给定的航天任务选择或设计一条标称轨道（也称参考轨道或目标轨道）.这条参考轨道通常是按简化模型用标称参数值计算出来的理论轨道，它可以是 KO，也可以是 NKO.轨道控制系统按照事先设计好的控制规律在一个或几个时刻开启轨控发动机进行变轨，使航天器到达目标轨道或保持在标称轨道上.

为到达空间预定位置或区域所进行的轨道控制称为制导.例如轨道拦截和交会对接任务中的末制导，航天器返回地面过程中的再入制导，运载火箭把航天器送入预定入轨点的制导等.现代航天器的制导系统通常是一个反馈控制系统.闭路制导系统把实测轨道与参考轨道进行比较，按照事先设计好的制导规律，控制航天器的飞行轨迹，消除误差，使其沿参考轨道飞行，最终到达目标点.这种情况下的参考轨道可以事先设计好并装订在星载计算机中，也可以由星载计算机按给定模型实时计算.

轨道控制系统的主要性能指标是精度、时间和所消耗的能量或推进剂量.轨道控制或制导的精度主要取决于轨道确定或导航的精度和控制或制导的方法误差.轨道控制过程的时间主要取决于标准轨道的选择、轨道控制规律和执行机构的性能.轨道控制所消耗的推进剂量（正比于各次变轨速度增量绝对值之和，也称特征速度）主要取决于轨道控制规律和发动机的比冲.如果设计参考轨道时所用的动力学模型与实际轨道相差大，那么为迫使航天器沿参考轨道飞行所消耗的推进剂就多.设计者要对上述性能指标进行权衡与折衷，并希望实现自然作用与人为控制作用的最佳结合——和谐控制.

下面举3个轨道控制的例子.

（1）从月球返回地球的跳跃式再入控制［5］

低升阻比探月飞行器返回地球时，飞行器将以接近第二宇宙速度的高速再入地球大气层.如果要求返回起始于绕月轨道上的任意点和任意时刻，并保证最终能安全地着陆到地面指定区域，就要求飞行器有很长的纵向航程控制能力.由于飞行器的升阻比较小，所以必须采取跳跃式再入方式，即飞行器先再入大气层，然后跃升到大气层外，最后再一次进入大气层并着陆.再入制导系统必须能够提供可供跳跃的再入轨迹（即参考轨道）并进行精确制导.轨迹规划即制定参考轨道的任务是由星载计算机在轨（实时）计算出一条由当前点至第二次再入段终点（着陆器降落伞的开伞点）的可行的跳跃式再入轨迹和合适的倾侧角（称指令倾侧角）.参考轨道设计的基本要求是满足从当前点到开伞点的航程要求，并保证过载不超过限定值.制导律设计的基本要求是通过跟踪指令倾侧角，保证飞行器沿该参考轨道飞行并有足够的鲁棒性.该探月飞行器的返回再入制导系统是一个闭路制导系统.从首次再入点开始到最终着陆的整个飞行过程除了中间有一小段是在大气层外的KO外，其余部分都是本质NKO.

（2）交会对接最后停靠段的相对轨道控制

如果在航天飞机与空间站交会对接最后停靠段要求航天飞机自下而上地靠拢空间站，则可以沿R（空间站的地心矢量）方向和 V（空间站的轨道速度矢量）方向连续地对航天飞机施加推力，其中V方向的推力用于减小航天飞机与空间站沿V方向的相对速度，R方向的推力用于减小二者之间的高度差，采用这种相对制导策略可以实现航天飞机沿R方向向空间站匀速直线靠拢，在停靠过程中航天飞机绕地球飞行的轨道（绝对轨道）是一个本质NKO.

（3）星际航行的轨道控制

如前所述，星际航行轨道涉及到三体问题.三体问题是一个非线性动态系统，其运动具有混沌现象.星际航行中的轨道转移可以应用混沌运动理论中的不变流形（有稳定流形和不稳定流形两种）的概念.利用不变流形可以大大减小轨道转移的推进剂消耗量.太阳系中的许多条不变流形组成了一个轨道网络.由于沿此网络中的管道表面飞行所消耗的能量极小，所以常称之为星际高速公路（IPS，interplanetary superhighway）.航天器可沿稳定流形接近天体，沿不稳定流形飞离天体.

如果要使宇宙飞船从行星A飞向行星B，可以先让宇宙飞船沿稳定流形管道转移到行星A的一个晕轨道上，然后沿行星A晕轨道的一个不稳定流形管道上飞行，再在适当的时候让宇宙飞船切换到行星B的一个稳定流形管道上，宇宙飞船接着沿此管道到达行星B的一个晕轨道上，最后再转移到绕行星B的近星轨道上.由于宇宙飞船在整个飞行过程中很大一部分是沿不变流形管道飞行的，所以只需消耗非常少的推进剂.

需要指出，航天器轨道控制通常需要姿态控制相配合.这种情况下，姿态控制系统的任务是将航天器的姿态或推力发生器（比如发动机、太阳帆等）的指向调整到并稳定在轨道控制所要求的数值上；或者在轨道控制力作用期间，使航天器的姿态或推力发生器的指向按轨道控制或制导给出的规律变化.有时需要考虑轨道控制与姿态控制作用的相互耦合对航天器轨道运动和姿态运动的影响.

5 航天器的轨道确定

航天器的轨道确定就是对轨道测量数据进行处理，给出航天器在给定时刻的位置和速度或者轨道要素.测量数据可以由地面站对航天器运动轨迹进行测量得到，也可以由装载在航天器上的测量设备提供.通过对这些测量数据的处理和计算可以获得航天器的轨道参数.轨道控制需要知道航天器现时的轨道参数，闭路制导需要航天器实时确定它自己的位置和速度，有时姿态确定也需要知道航天器的轨道参数.我们把为轨道控制或制导所进行的轨道确定称为导航.完全利用航天器上的测量设备和计算装置而不依赖于地面设备支持的导航称为自主导航.轨道动力学模型对轨道确定的精度有很大影响.在星上轨道计算或导航任务中，应在星载计算机的能力范围内尽量使用精度较高的轨道动力学模型——NKO模型，例如采用包含地球非球形摄动的J2项的轨道动力学方程，在相对导航滤波器设计中考虑航天器发动机工作时推力的影响.航天任务常常需要地面站给出航天器轨道参数的预报值，这种情况应尽量选用高精度的NKO模型，采用喷气姿态控制的低轨道卫星的轨道预报需要考虑小推力姿态控制发动机工作累积冲量引起的轨道摄动.

6 结束语

本文从开普勒三定律和牛顿力学出发，阐述了航天器的轨道问题，给出了航天器开普勒轨道和非开普勒轨道的定义、分类和特点.本文将开普勒轨道分为理想KO和视同KO两大类，将非开普勒轨道分为非本质NKO和本质NKO两大类，它们都有自然的和人为的两种情况，列举了许多受控本质NKO的典型例子，还介绍了相关的轨道控制与轨道确定、制导与导航问题.

［1］张钰哲，戴文赛，李珩，等.中国大百科全书：天文学［M］.北京：中国大百科全书出版社，1980：1-7

［2］Bong W.Space vehicle dynamics and control［M］.Reston：AIAA Inc，1998

［3］Baxter B E.Keplerian representation of a non-Keplerian orbit［J］.Journal of Guidance and Control，1980，3（2）：151-153

［4］胡少春，刘一武，孙承启.星际高速公路技术及其在夸父计划中的应用［J］.空间控制技术与应用，2008，34（6）：12-17

［5］陆平，朱亮，敬忠良，等.探月返回跳跃式再入制导［C］.全国第十三届空间及运动体控制技术学术会议，湖北宜昌，2008年7月

Spacecraft Keplerian Orbits and Non-Keplerian Orbits：Definition，Classification and Control

SUN Chengqi1，2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.National Laboratory of Space Intelligent Control，Beijing 100190，China）

This paper describes spacecraft’s Keplerian orbits（KO）and non-Keplerian orbits（NKO）including their origins，definitions，classifications and characteristics，explains the relationship between the KO and the NKO，and introduces briefly some issues related to orbit control and orbit determination，guidance and navigation.

Keplerian orbits； non-Keplerian orbits； classification of orbits； orbit control； orbit determination

V412.41

1674-1579（2009）04-0001-05