开口弧具高阶奇性解Hilbert核方程的求解

陈荆松 (中南财经政法大学信息学院， 湖北 武汉 430073)

陈俊文 (湖北省沙市中学， 湖北 荆州 434000)

开口弧具高阶奇性解Hilbert核方程的求解

陈荆松 (中南财经政法大学信息学院， 湖北 武汉 430073)

陈俊文 (湖北省沙市中学， 湖北 荆州 434000)

在开口弧具高阶奇性解Hilbert核方程完全方程的Nother定理的基础上，通过构造辅助函数，利用基础解系，改写了未知函数在H类(或H*类)情形下特征方程的解，得到了开口弧具高阶奇性解的Hilbert核奇异积分方程的特征方程。

开口弧；高阶奇性；Hilbert核方程；基础解系

关于Cauchy核奇异积分方程的讨论已有较为完备的结论[1～6]，特别是开口弧情形的补充[6]，使得之前仅限于闭口弧的讨论更加完备。关于Hilbert核情形的奇异积分方程，笔者曾在文献[7]中讨论了其在开口弧具高阶奇性解的积分方程，给出了完全方程的Nother定理，并对解的一般特性作出了描述。下面，笔者将在此基础上对特征方程：

(1)

1 未知函数在H类(或H*类)情形下特征方程解的改写

在H类或H*类情形下，对于方程(1)，有：

(i)κgt;0,γ≠或=(2k+1)π时，方程(1)的解分别为:

(2)

(3)

(ii)当κ=0,γ≠(2k+1)π时，方程(1)有唯一解:

φ(t)=N*f+(f1-f0tan(γ/2))B*(t)Z(t)

φ(t)=N*f+CB*(t)Z(t) (C为任意常数)

(iii)当κlt;0，可解条件：

f0sin(γ/2)=f1cos(γ/2)fj-2=fjj=2,…,-κ

正交条件为：

(4)

当γ≠(2κ+1)π时：

φ(t)=K*f-f0tan(γ/2)B*(t)Z(t)=N*f

当γ=(2k+1)π时：

φ(t)=K*f-f1B*(t)Z(t)=N*f

与文献[8]不同，当κlt;0时，得出解的统一表达式及可解条件几何意义明显正交化。

注1上面的讨论对L为开口弧或有节点的曲线亦有类似结果。

2 特征方程的求解

ω(t)=φ(t)-T(tan(t/a))/Π(t)

(5)

这里与闭口弧情形不同之处在于上式中的积分项不易计算出具体值。

但由于F(t)∈H*，由上面的讨论有：

(1)当κgt;0时，方程(1)无条件可解：

(6)

从式(5)得到φ(t)关于ω(t)的表达式后，将式(6)代入得到:

(7)

再由文献[6]有：

(8)

(9)

另一方面，式(8)中:

(10)

将式(9)和式(10)代回式(8)计算后再代回式(7)有：

(11)

(12)

(2)当κ=0时，分以下2种情况：

(i)γ≠(2κ+1)π时，方程(1)有唯一解:

(ii)γ=(2κ+1)π时，当且仅当:

满足时，方程(1)有解：

(3)当κlt;0时，当且仅当条件:

满足时，方程(1)有唯一解式(11)(Pκ(t)≡0)。

[1]路见可. 沿曲线的积分方程，其解具有一阶奇性[J]. 武汉大学学报(自然科学版)，1964，(1):1～13.

[2]路见可，张桂生. 具一阶奇性解的奇异积分方程[J]. 武汉大学学报(自然科学版)，1997，43(3):273～280.

[3]钟寿国,赵新泉. 具高阶奇性解的奇异积分方程(I)[J]. 武汉大学学报(自然科学版)，1997，43(5):553～559.

[4]钟寿国,赵新泉. 具高阶奇性解的特征奇异积分方程(II)[J]. 武汉大学学报(自然科学版)，1998，44(1):5～10.

[5]钟寿国. 具高阶奇性解的奇异积分方程的推广Noether定理[J]. 数学年刊, 1998，13A(3):361～366.

[6]Zhong Shou-guo. Singular integral equations along an open arc with solution having singularities of higher order[J]. Acta Mathematica Scientia, 2005,25B(2):193～200.

[7]陈荆松,钟寿国,陈俊文.开口弧具高阶奇性解的Hilbert核奇异积分方程[J].长江大学学报(自然科学版),2008,5(1):N10～12.

[8]路见可. 周期Riemann边值问题及其在弹性力学中的应用[J]. 数学学报, 1963, 3(3):343～388.

[编辑] 洪云飞

O175.8

A

1673-1409(2009)01-N005-03

2008-12-26

国家自然科学基金项目(10471107)。

陈荆松(1979-)，男，2000年大学毕业，博士，讲师，现主要从事复分析理论方面的教学与研究工作。