在小学数学教学中渗透整体意识

郭敬锋

1 前言

数学意识是人对客观事物的数量关系和空间形式的自觉能动的反映。数学意识在数学活动中发挥着指导、调节作

用,良好的数学意识将会使数学活动得以顺利实现高度自动化。当下,越来越多的数学教师清晰地意识到发展学生的数学意识是提升学生数学素养的必由之路,并开始付诸于实践。其中整体意识不仅体现着数学辩证思维的特性,而且对其观察问题全局化、思维方式科学化,甚至形成方法论意义上的综合素养都起着基础性、关键性的作用。一个突出的表现便是形成整体意识的人就会由着重对事物单方面的研究,转向着重对事物多方面的整体研究;由着重对事物实质的研究,转向着重对事物的各种类型的联系和结构的研究。这些看似与小学数学学习遥不可及,但这些意识却往往萌芽于最初的却又能对今后的形成起着重要作用的“土壤”——数学课堂。因此,笔者的探索便从如何提供更适宜整体意识生长的“土壤”开始。

2 目标境界之一:着眼整体,考察联系,体悟思想

案例1学习乘法分配律后,笔者出示这样一题:78×99+78。学生尝试计算后,教师组织学生进行交流。

生1:把99看做100-1,78×99+78=78×(100-1)+78=78×100-78×1+78=7 800-78+78=7 800。

生2:把99看做100,再把多算的减去,78×99+78=78×(99+1)-78+78=78×100-78+78=7 800。

生3:把78看做78×1,78×99+78=78×99+78×1=78×(99+1)=78×100=7 800。

师:同学们,你喜欢哪种方法?

生4:我喜欢第二种方法,因为99接近100,就先把它看作100,多算了再减。

生5:把99看成100与1的差,就可以利用乘法分配律进行简便计算,我喜欢第一种方法。

生6:第三种方法,把78看成78与1的乘积后,就能应用乘法分配律使计算简便。

学生各抒己见,最后笔者说:“同学们都有自己喜欢的方法,以后大家就用自己喜欢的方法做。”

课后交流时,教师的普遍意见是学生应用乘法分配律的水平参差不齐,教师引导“无为”,学生并没有获得应有的发展,亦即没有达成该达到的目标。失败之后,笔者在听取其他教师意见的基础上进一步进行反思。

反思看上去,笔者是尊重学生多样化的算法,实质上,不但没有引导学生实现算法的优化,更深层次的是缺乏对发展学生的整体意识的关注,抑或说教师本身就缺乏一定的整体意识。从这样的算式中孤立出78×99,应用乘法分配律计算后再与78相加,虽然不乏合理的成份,但稍有数学审美鉴赏力的人总觉得有一种“只见树木,不见森林”的缺憾。生2的想法从本质上讲也没有逃脱这种窠臼。当人们关注整体时,更应当引导学生观察整个算式所具备的特点。另一方面,极其重要的是,对乘法分配律,要促进学生形成认知结构,而且这种结构应当是开放的,并作为一个容量较大的组块整体提取和应用,才利于遇到新问题时实现顺应,达到新的平衡。

3 目标境界之二:鸟瞰全局,把握实质,突破常规

案例2“长方形周长”一课中,笔者安排这样一个问题供学生解决:图中(略)2个完全一样的长方形拼成的,它的周长是多少厘米?

建立了周长概念的学生纷纷努力地去找出围成这个图形的每条边的长。不少学生遇到一定的困难。生甲打破沉寂:“通过观察我发现,长方形长和宽的和是16厘米,差是4厘米。因此,把16厘米加上4厘米就是两条长的和了。我就用(16+4)÷2=10(厘米)求出长。宽就是10-4=6(厘米)。”笔者明白:她是用和差问题的方法来解决问题。受她的启发,生乙说:“我们也可以用(16-4)÷2=6(厘米)求出宽……”笔者环顾一周,发现她俩的响应者并不多,毕竟和差问题的解决方法对于不少学生来说还较为陌生,更何况,这种方法并非解决问题的上策。因此,笔者并没有“逗留”于此,话锋一转:“同学们,有没有想过其他方法?”看得出,学生都产生这样的定势:要求这个图形的周长,就要找出各条边的长。笔者这样诱导:“求长方形的周长,同学们喜欢用长与宽的和乘2来算。那这个由2个长方形拼成的图形周长与原来长方形长、宽之和有没有什么关系呢?”这样启发后,学生纷纷跳出原有的“框框”,开始从整体上来考虑这一组合图形的周长与原来的长方形周长的内在联系。不一会儿,学生的脸上洋溢着柳暗花明后的兴奋,争先恐后地说:“老师,这个图形的周长包括原来长方形的三个长和宽之和还多4厘米。所以,可以用16×3+4来算。”“把右上角补上一块,变成一个长方形,周长不变。也能够看出图形的周长是3个长、宽之和还多4厘米。”

思考囿于局部、纠缠于每条边的长度使得学生对问题的解决走上繁琐分析、高难技巧的道路。显然,这条路并不平坦且有较大的困难。因此,教师不能被学生牵着鼻子走,在极其有限的课尾时间里去增补“和差问题”这一对不少学生需要至少一堂课来展开学习的内容。作为引导者的教师“该出手时就出手”,必须“适时地走进来”,介入并逐步融入学习过程中来。引领学生从全局的高度把握长方形周长计算方法中充满整体感、体现人类思维之花的结构要素:长与宽之和,并把它作为一个整体的尺度去度量与长方形有着密切联系的这一组合图形的周长,这是长方形周长在数学内容中最本质的思想内核。整体原理告诉人们:不仅应注意发挥各部分的功能,更重要的是要发挥各部分相互联系形成结构的新功能。不难看出,把长与宽之和视为一个整体结构要素去解决问题,让学生体悟到“一览众山小”的整体观,使问题解决朝着摆脱常规模式的羁绊、化难为易的方向迈进。

把握数学问题时,弄清问题的实质,通盘考虑解决问题的要素,才有可能突破解决问题的常规方法。上述案例呈现的问题其构成要素并非一定是原长方形的长与宽,而长与宽之和及长与宽之差已足以构成解决问题的要素,关键是要考察出整个图形的周长与提供的2个条件之间的关系。所以要不拘泥于常规,鸟瞰全局,认真把握问题实质及其与条件之间的联系极其重要。笔者在教学求长方形周长时就曾有意只提供长、宽之和,求梯形面积时只提供上、下底之和及高,求圆面积时只提供半径的平方,求相遇时间只提供路程与速度和……这样,就促使学生打破常规问题常规方法的樊篱,重新思考解决问题的最简要素到底是什么,从而对解决问题要素构成的认识上升到更为统整的高度,对问题实质的把握也就更为深刻。不言而喻的是,这种全局意识的提升将使学生进行思维的知识单元容量加大、整体感增强、跳跃性增强,其创造性也就更高。

学生多次经历这样的过程后,笔者发现,学生元认知领域中数学观念之整体意识有了质的飞跃。数学意识的质变将影响学生的思维方式、生活方式甚至生存方式的变化,从而实现人的和谐发展。

(作者单位:河北省卢龙县第二实验小学)