老师，这种方案不合理

周小明

“数学课程标准”在课程目标中鼓励学生“尝试从不同角度寻求解决问题的方法,并能有效地解决问题”,并“在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点”;还要求学生面对实际问题时“能综合运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识,形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神”.这说明:数学课堂不只是教师表演的舞台,更应是师生之间交流、互动的平台;数学教学不只是传授知识的过程,更应是探究知识的历程;数学学习的目的不只是掌握数学理论,更应是解决实际问题.这对教师提出了更高的要求,势必将课堂教学从“传授中心”转变为“对话中心”,将教师的角色由“知识熟练者”转变为“探索实践者”.

为了培养学生的探索能力和应用意识,我经常拿出一些实际问题给学生思考,来看下面一个案例.

案例:甲、乙、丙三位同学合乘一辆出租车同往一个方向,事先约定三人分摊车资.甲在全程的1/3处下车,乙在全程的2/3处下车,丙坐完全程下车,车费共54元.问甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理?请你设计一个方案.

问题很快就得到了解决,学生A的方案是这样的:

甲乘坐的路程是全程的1/3,乙乘坐的路程是全程的2/3,丙乘坐的路程记为1/3+2/3+1=2.

甲、乙、丙三位同学乘坐的路程之和为1/3+2/3+1=2.

按每人乘坐的路程之比来分摊车资:

甲应付(1/3÷2)×54=9(元),

乙应付(2/3÷2)×54=18(元),

丙应付(1÷2)×54=27(元).

这正是我在教案中所使用的方案,很多学生也是如此解决的.“非常正确!”我迅速地作出了判断(这个判断差点成了今天错误的结局).我随便问了一句“还有没有其他的方案?”和往常一样,这句话让我得到了意想不到的收获!

这句话过后,教室里是一片寂静,千万不要忽视这份寂静,伴随着寂静的是学生思维的高速运转,这份寂静是学生智慧的火花爆发前的信号!

不久,一只手慢慢地举了起来.并将自己的想法说了出来.

生B:周老师,我觉得这种方案不合理.

(此话一出,全班皆惊!我们都等着他的下一句话.)

生B:老师,我知道出租车是按行驶的路程计价的,而不是按每个人乘坐的路程来计价的.

师:(不解地)你认为这两种路程有什么区别吗?

生B:举个例子吧:乘出租车从昆山到上海,50公里付100元车费,1个人乘坐的话,那么这个人就应付100元,2个人乘坐的话,按行驶路程付费每个人只要付50元,按乘坐的路程付费每人就得付100元.这50公里出租车司机就重复收费了.

学生一听,果真不一样!于是大家作出了一致的判断:“傻瓜才按乘坐的路程付费!”

师:(抓住时机)想必B同学已经有了合理的方案了,请其他同学思考一下,怎样付费比较合理.(同时我也在寻求新方案.)

短暂的讨论之后,新的方案出来了!

生C:全程共付费54元.

那么全程的1/3应付费1/3×54=18(元).

前1/3由甲、乙、丙三人共同乘坐,甲、乙、丙三人各付6元.中间的1/3由乙、丙二人共同乘坐,乙、丙二人各付9元.最后的1/3只有丙一人乘坐,丙独自承担最后的18元.

所以甲付6元,乙付6+9=15元,丙付6+9+18=33元.

问题圆满的解决了,师生都沉浸在胜利的喜悦中,我也准备舒口气了.多年的教学习惯使我顺口问了句:“还有什么问题吗?”本以为问题到此为止,没想到今天的这句话却引出了本课讨论的高潮.

生D:(意犹未尽)为什么出租车按行驶路程收费才合理?而火车却按每个人乘坐的路程收费?

刚刚放松的心一下子又紧张起来,怎么办?这个问题并不在教学计划中,并且这个问题我还从来没有考虑过!要是此时收场的话还可以控制,但是一旦收场必然伤害了学生探索的积极性和质疑的心!瞬间的权衡之后我作出了选择:让学生自己继续探讨,同时也给自己一个思考的空间.

经过3分钟激烈的争论后,学生大都形成了自己的观点.而这时的我也已经轻松了很多,因为我已经有了我自己的思路了.我还是坚持先听听学生的见解.

生E:一般出租车都是按次数出租的,它的成本几乎只和行驶的路程有关,中间基本上不会有什么人上下车,所以只需收一次费用,那么按行驶的路程付费是比较合理的.而火车从起点到终点之间还会停靠其它车站,不断的有人上下车,需要收很多次费用,那么按乘坐的路程购票方便.所以收费的次数是很重要的原因.

生F:我觉得最重要的是乘坐出租车的人员在上车那一刻起就是固定不变的,而火车的乘坐人数却是变化的,如果也按行驶路程付费的话,这笔费用该怎么分摊是很难计算的.所以我觉得最主要的问题是乘坐人员的变化.

生G:出租车是先乘坐后付费的,所以按行驶路程付费很方便,火车是先付费后乘车的,所以只能按乘坐的路程付费了!我觉得和付费的先后方式有关.不过如果火车也向出租车那样先乘车后付费就好了!

在肯定了三位学生的想法之后,我突然对学生G的建议很感兴趣.

师:这个想法很有创意,你是怎么考虑的?

生G:暑假我乘火车回老家时,车厢里空荡荡的,很舒服,过年回老家的时候车厢里实在太挤了,气都透不过来,可是票价却和暑假是一样的.我觉得这是不合理的.

此番言语引起了饱受“春运”乘车之苦的同学的共鸣,打开了大家的话匣子,教室里沸腾了,大家一致认为火车行驶路程不变的话,运行成本也是不变的,那么乘坐的人多的话每人付的车费就应该少些才对.他们在欢呼!为自己给铁道部找到了一个“合理”的收费方法而欢呼!

如此一发不可收拾,让人既意外又激动!作为老师,我知道学生提到的“合理”的方法是有合理的因素的,但却存在着操作上的极大困难!既不能打击他们,又不能太顺从他们.

师:你们刚才为铁道部解决了一个大难题啊!铁道部一定会感谢你们的(学生在自豪的笑).不过火车的运行成本不仅仅是和行驶的路程有关的,还包括各个车站对乘客的服务和管理,如果下车买票的话,如何控制上车的人数、避免“春运”时大家一窝蜂挤上车而导致混乱都是车站要考虑的问题,还有如何统计乘客是在哪个车站上车哪个车站下车的?下车后如何补票等,这些都是繁杂的工作,必将耗费更多的人力去解决,这是一个系统的统筹工程(笑声逐渐停止,学生若有所思).当然这些问题如果有什么好的解决方法可以和我继续交流,也可以同学之间相互交流.我相信你们一定可以找到解决这些问题的方案,我们可以把我们想到的这些合理的想法整理出来寄给铁道部,帮助他们一起解决“春运”难题!(学生信心大受鼓舞,有跃跃欲试的冲动!)

已经临近课堂结束了,按既定教案上课已是绝不可能!收场吧!于是我对此课作了适当的总结:这节课我们用所学的数学知识解决了一个生活中的问题,我们看到生活中的数学问题与书本上的数学知识有很大的关联,却又不尽相同.一方面,我们要明白书本上的数学问题是从实际生活中的数学问题中做适当简化、抽象出来的数学模型,这说明数学源于生活;另一方面,在我们运用数学知识解决实际问题时,要考虑问题的实际情况,让数学更好的服务于生活!好了,同学们,把我们这节课的感受写出来吧,就算是今天的作业,OK?

学生齐声答到:OK!(下课后,学生讨论的兴致依然很浓.)

一个问题已经解决,但这个小问题的探究却导致我没有完成预先的教学任务,引起了我的反思.

一是由于课前没有没有对问题进行深入的探究,从而导致考虑问题不全面,差点给了学生一个错误的结论,这件事时时催我上进,我深深的意识到,新的教学理念,对教师的要求更高了,要求教师做研究型的教师,每节课都要精心准备,来不得半点马虎!

二是如何处理“预设”与“生成”的关系?一方面,教学是一个有计划、有目标的活动,课前的精心准备是必不可少的,这是保证课堂知识科学性、准确性的前提;另一方面,教学已不再只是一个“传授”的过程,而是一个“对话”的动态过程,教学双方智慧的显示、碰撞、融合是交互变通的,这是师生实现交流和互动的必然,也是为学生的发展创造条件.因此,教师在备课进行预设时,就应该富有弹性,并留有余地,从而在实施过程中根据教学的进程,不断调整自己的教学行为,顺应学生精彩的动态生成.

三是强调教学“生成”,并不是意味着可以盲目地无限制地走下去,由于学生的年龄特征和认知水平的限制,看问题难免片面和武断,教师的适时介入及适当提升,依然是引领学生走出迷宫、不致误入歧途的向导.

四是数学应用能力的培养,不能仅局限于数学知识上.正像夸美纽斯所说的:人们学习的每件事都是充满联系的.数学也是具有丰富联系的,在强调数学内部联系的同时,还必须重视数学跟外界的联系.教数学的老师不可能浮在空中,而学数学的学生也必然是属于社会的,学生不可能生活在纯数学的社会里,所以我们教师必须明白的是:学生学习哪些数学似乎是无关紧要的,只要它联系着生活、联系着社会,因为只有联系的,才是最具活力的!才能更加促进学生的可持续发展!

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编辑/张烨