考虑土体重度的条形基础极限承载力半经验理论解

韩冬冬，谢新宇，窦岩嵩

（1.河南省电力勘测设计院土建室，郑州 450007；2.浙江大学软弱土与环境土工教育部重点实验室，杭州 310027 3.浙江理工大学建筑工程学院，杭州 310018；4.中国建筑股份有限公司建筑事业部，北京 100037）

考虑土体重度的条形基础极限承载力半经验理论解

韩冬冬1，2，谢新宇2，3，窦岩嵩4

（1.河南省电力勘测设计院土建室，郑州 450007；2.浙江大学软弱土与环境土工教育部重点实验室，杭州 310027 3.浙江理工大学建筑工程学院，杭州 310018；4.中国建筑股份有限公司建筑事业部，北京 100037）

假定土体重度对滑移线场没有影响，利用滑移线方法推导了考虑土体重度的条形基础极限承载力公式，公式中地基承载力系数Nq，Nc和Nγ互不影响且Nq，Nc与已有结果相同。利用上限定理构造了滑移线场对应的速度场，求得了该速度场的上限解。结果表明滑移线解与上限解相同，这就证明了滑移线解是上限解答。将地基承载力系数Nγ同已有的其它成果进行了对比，并分析了此方法的误差来源，同时给出了修正公式。

滑移线；上限；条形基础；承载力

1 概 述

条形基础极限承载力的求解是一个古老的课题，目前求解极限承载力的方法有3种：极限平衡法、滑移线法和极限分析法。极限平衡法首先假定极限状态下土体的破裂面形状，然后根据力和力矩的平衡来求解极限承载力，Terzaghi［1］和Meyerhof［2］的方法均属于此类方法，该解答只是一种近似解；滑移线方法［3］对无重土的解已被证明为精确解，但对于有重土的解答其精确性还有待证明；极限分析法［4］以变分原理为基础，其理论严密，但对有重土极限承载力的解答仅能给出一定范围，且限于数值解答。

尽管近年来对有重土极限承载力的研究取得了一系列进展，但条形基础极限承载力的解答都还处于半经验阶段。对地基承载力系数Nc和Nq，各学者的认识比较统一，但各学者对地基承载力系数的解答则差别较大。因此，有重土极限承载力的解答有待进一步研究。

本文主要利用滑移线方法求解有重土的极限承载力，鉴于考虑土体重度后，极限承载力公式不能认为是土的粘聚力c、地面超载q和土体重度γ这3种因素的简单叠加，这一点已被多次证实［4～7］。但目前还没有学者给出土体重度对极限承载力影响的定量研究，因此，要考虑土体重度对滑移线的影响是困难的。为了求解的方便，本文假定土体重度对滑移线形状没有影响，在该前提下推导极限承载力的解析表达式。

2 极限承载力的滑移线解

2.1 土体内部任一点的滑移线方程

极限状态时土体内部任一点的两族滑移线如图1所示，若选取图1所示的坐标系，则根据塑性力学滑移线理论，满足Mohr-Coulomb屈服准则的土体内部任意一点的第Ⅰ族滑移线方程如下：

2.2 各区域的应力方程及边界条件

极限状态时滑移线网如图2所示，图中ABCD和MNPQ均属于第Ⅰ族滑移线，与其相交的为第Ⅱ族滑移线。两族滑移线将滑动面ABCD以上的土体分为3个区域：主动区OAB、剪切过渡区（对数螺旋线区）OBC和被动区OCD，这3个区域的第Ⅰ族滑移线均满足方程组（1），但3个区域的应力特征和边界条件有所不同，接下来对各区域满足的应力方程和边界条件进行分析。

图1 土中任一点主应力与滑移线关系图Fig.1 The relationship of principal stresses and slip lines of arbitrary point in soil

图2 条形基础极限状态下的滑移线场Fig.2 The slip-line field of strip footing in limit equilibrium

假定土体重度对滑移线形状没有影响，则滑移线场同无重土的滑移线场相同，此时主动区OAB为均匀场，η＝π／2，代入公式（1）中的第二式，并积分可得到

式中C1为积分常数。

过渡区OBC中，第Ⅰ族滑移线为对数螺旋线，其坐标满足

写成直角坐标形式为

对上式微分，代入公式（1），并积分可得到

式中：C2为积分常数

2

被动区OCD也为均匀场，η＝0，其应力公式为

式中C3为积分常数。

对于Mohr-Coulomb材料，图2坐标下的特征应力σ与y方向应力σy满足下式：

边界OD上，σy＝q，η＝0，此时

2.3 极限承载力的求解

设OM长度为a，对于任一条第Ⅰ族滑移线MNPQ，M点同时满足公式（2）和（8），N点同时满足公式（2）和（5），P点同时满足公式（5）和（6），Q点同时满足公式（6）和（9），将M、N、P和Q点分别代入上述公式，并结合它们的坐标可以解得地基极限承载力公式的表达式如下：

式中：

其中，

公式（10）至（13）是基础底部每一点的极限承载力公式，从中我们可以看出：若假定地基土重度对滑移线的形状没有影响，则地基承载力系数Nq，Nc和Nγ是相互独立的3个参数，且极限承载力沿基础底面呈线性分布，因此可以用基础中心处的承载力代表极限承载力的平均值，即将公式（14）中a换成B／2即可。这样极限承载力公式的解答就是土的黏聚力c、地面超载q和土体重度γ这3种因素的叠加。

上述极限承载力公式与Terzaghi［1］得到的解答形式相同，且承载力系数Nq，Nc与Prandtl-Reissner课题的解答相同。Chen［4］、Soubra［7］和陈祖煜［5］等学者指出，考虑土体重度后，极限承载力的解答要比3种因素叠加的结果大，将极限承载力公式写成3种因素叠加的形式会引起一定的误差，但这个误差一般在10%以内，因此是可以接受的。

Chen［4］指出，基础承载力的滑移线解不一定是真实解，也不知道是否是上限解或下限解。如果上述滑移线场对应速度场的上限解与滑移线解相同，则说明公式（13）是上限解。

3 对应速度场的上限解

图2对应的速度场如图3所示，图3对应的上限定理公式可以表示为

式中：W为速度场内的能量耗散，包括AB（OB）上的能量耗散、变形楔体ABC＇（OBC）内部和边界BC＇（BC）上的能量耗散以及C＇D＇（CD）上的能量耗散；Wg，Wq和Wpu分别为土体重力的功率、地面超载的功率q及极限荷载Pu的功率。它们的表达式分别如下：

图3 图2滑移线场对应的速度场Fig.3 Velocity field realated to the slip-line field of Fig.2

将公式（14）至（18）联立，解得极限承载力的上限

式中：

公式（19）至（22）与公式（10）至（13）的表达式完全相同，这说明本文的滑移线解是上限解。

4 计算结果对比分析

4.1 极限承载力系数Nγ的结果对比

极限承载力系数Nq和Nc可用公式（11）和（12）求解，这一点各学者的认识较为一致，但对于Nγ，不同学者给出的建议值差别较大。取土的内摩擦角φ分别等于0°，2°，…，30°，本文方法及其他学者的建议值如表1所示。

表1 地基承载力系数Nγ与已有成果的对比Table 1 Comparison of bearing capacity factor NγValues with those obtained by othermethods

表1中韩冬冬等［8］是根据滑移线的数值解得到的结果，采用滑移线理论计算时假定基础底面是光滑的；Terzaghi＆Peck［9］是根据极限平衡法得到的光滑基础的结果；Taylor［10］计算地基承载力时将土体重度等效为换算黏聚力，根据换算黏聚力得到了地基承载力系数Nγ；Meyerhof考虑了地基埋深以上土的抗剪强度影响，表1中Meyerhof［2］是根据Meyerhof建议的半经验公式得到的Nγ；Vesic［11］是在基础光滑的假定下得到的Nγ解；Chen［4］是利用上限解得到的半经验公式的计算结果；Bolton＆Lau［12］是对粗糙基础提出的半经验公式。

从表中看以看出，本文方法的解与Taylor［10］的计算结果接近，但是比多数学者的建议值大，甚至比有些结果大很多。这是2个因素造成的：

（1）多数学者给出的Nγ的半经验公式都偏于安全，比他们计算分析得到的Nγ要小。如Meyerhof的半经验公式与无埋深基础的Nγ结果接近；当φ＝30°时，由Bolton＆Lau建议的半经验公式得到的Nγ值为17.40，而其原始的计算结果为23.6。各学者计算Nγ时都给出了相对保守的计算公式，这是本文Nγ解比一些学者的建议公式计算结果大很多的原因。

（2）假定地基土重度对滑移线没有影响所带来的误差。Terzaghi在1943年的土力学专著中指出了土体重度对剪切滑动面的影响，韩冬冬等根据滑移线数值计算结果对这一问题进行了研究，并得出结论：有重土的滑移线区域比无重土的滑移线区域要小［8］。因此，若不考虑土体重度对滑移线形状和区域的影响，则假定的滑移线区域比实际的滑移线区域要大，那么计算结果自然也是偏大的。

另需说明的一点是：虽然Meyerhof等一些学者认为基底粗糙度对极限承载力的结果影响很大，完全光滑基础的承载力可能只有完全粗糙基础的一半，但一些大型光滑基础的试验结果表明：完全光滑基础和完全粗糙基础的承载力结果相差不大，控制地基破坏的因素是整体剪切破坏，对于有刚度基础，Hill破坏模式是不可能出现的［13］。鉴于基础粗糙度对极限承载力的结果影响有限，作者认为本文的计算公式适用于条形基础整体剪切破坏的情况，基底粗糙度对计算结果的影响可以忽略。

4.2 极限承载力系数Nγ的结果对比

公式（13）计算地基极限承载力时假定土体重度对极限承载力没有影响，这是本文计算结果的一个误差来源，为了减小这个误差，引入关于φ的函数对公式（13）进行修正，作者的建议公式为

式中：Nγm为修正后的地基承载力系数；Nγ为利用公式（13）计算得到的结果。

公式（23）的计算结果也列在了表1中，从修正的计算结果可以看出，修正结果与韩冬冬［8］及Chen［4］的计算结果接近。需要指出的是，公式（23）的修正系数是作者分析了其它计算结果后做的对比修正，修正时主要考虑了地基土重度对滑移线没有影响这一假定所带来的误差。土的内摩擦角较小时该误差较小，随着土的内摩擦角增大，这一假定所带来的误差也越来越显著，因此作者增加了cosφ这一修正项，这样修正系数比较简单，而且与滑移线方法的数值计算结果吻合的比较好。

尽管如此，公式（23）仍是一个半经验公式，公式中的修正系数还可以取成别的形式，对公式（13）如何进行修正还值得进一步研究。

5 结 论

（1）若假定土体重度对滑移线形状没有影响，则可根据滑移线理论和边界条件计算得到有重土极限承载力的解析公式。该表达式中地基承载力系数Nq，Nc和Nγ是相互独立的3个参数，且Nq和Nc与Prandtl-Reissner课题的解答一致。

（2）本文滑移线场对应速度场的上限解与滑移线方法得到的解答完全相同，这证明本文的滑移线解是上限解。

（3）将滑移线解答得到的极限承载力系数与其他学者的结果进行对比后发现，本文的结果比其它解偏大，其原因一方面在于各学者对Nγ计算时采取了偏于安全的简化公式，另一方面是因为假定土体重度对滑移线没有影响会对计算结果产生一定的误差，而且是偏大的误差。

（4）对地基承载力系数进行了修正，给出了Nγ的半经验公式，修正后的Nγ值与韩冬冬［8］及Chen［4］的计算结果接近。

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［13］MUHS H，WEISS K.Inclined Load Tests on Shallow Strip Footings［C］∥Proc of 8th Intern Confon Soil Mech and Found Eng.Moscow，1973：173-180.

（编辑：曾小汉）

Sem i-em pirical Solution on Bearing Capacity of Strip Footing Considering Unit Weight of Soil

HAN Dong-dong1，2，XIE Xin-yu2，3，DOU Yan-song4
（1.Department of Civil-Engineering，Henan Electric Power Survey＆Design Institute，Zhengzhou 450007，China；2.MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China；3.College of Civil Engineering and Architecture，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China 4.Building Construction Operations，China State Construction Engr.Corp.Ltd，Beijing 100037，China）

Assuming the unitweight of soil has no influence on the slip-line field，the formula of bearing capacity of strip footing is got by slip-line method，in which the three bearing capacity factors Nq，Ncand Nγdon’t effect each other and Nq，Ncare the same as the published results.The upper-bound solution to bearing capacity of strip footing is deduced in the corresponding velocity field of strip footing to the slip-line field，which is the same aswhat is gotusing slip-linemethod.The slip-line result is accordingly proved to be the upper-bound solution.The bearing capacity factor Nγis compared to those by other methods.The reasons that lead to the error by presentmethod are analyzed and amodified formula is proposed.

slip line；upper-bound；strip footing；bearing capacity

TV471.12

A

1001-5485（2009）08-0054-05

2008-11-03；

2008-12-23

韩冬冬（1983-），男，河南沈丘人，工学硕士，从事土力学研究及结构设计工作，（电话）0371-67163572（电子信箱）hdd-5217＠163.com。