两体斜碰中的“Δｔｆ≤ΔｔＮ”现象

杨榕楠

两个物体发生斜碰时会产生切向的静摩擦力或滑动摩擦力f，当f与法向的作用力N在数量级上相差不大时，其作用便不可忽略。如果将f的作用时间记为Δt，N的存在时间记为Δt，则Δt不能大于Δt，因为两物体一旦分离弹力N=0，f就不存在了。f的作用会使碰撞的两个物体的切向相对速度减小。如果在碰撞分离前物体间一直有切向的相对速度，则Δt=Δt；如果在Δt结束之前，两者的切向相对速度已减为零，则f立刻消失，就有Δt＜Δt，这就是f、N作用时间不匹配的情况。因此在两个物体发生斜碰时就有一类Δt≤Δt的现象，下面分别举例说明。

一、Δt=Δt的情形

例1如图1所示，军训中战士在距墙s0处以速度v0起跳，再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ，求能使人体重心升高最大的起跳角θ。

解析人以θ角起跳后做斜上抛运动，设人运动到墙面处的时间为t，竖直方向的速度为v，则有

s=vcosθ•t，v=vsinθ－gt

此时的重心高度为

h=vsinθ•t－gt2=stanθ－g2。

脚蹬墙面时，墙对人的弹力的冲量使人的水平速度减为零，同时摩擦力的冲量使人（质量设为M）竖直方向的动量增加，由动量定理得

N•Δt=Mvcosθ，

μN•Δt=Mv′－Mv。

人脚蹬墙面过程中有Δt=Δt，蹬墙后人以v′y为初速度继续升高h，有h=。

由以上各式可求得人体重心上升的总高度h=h+h=（μcosθ+sinθ）2－μs。故当θ=arctan时，重心上升的总高度最大。

二、Δt<Δt的情形

例2一袋面粉沿着与水平面成α=60°角的光滑斜面，从高H处无初速地滑下，落到水平地板上。袋与地板之间的动摩擦因数μ=0.7，问袋停在何处？

解析当袋滑到斜面末端时具有一定的沿斜面方向的速度。由于袋与地板碰撞时不会弹起，这意味着在地板支持力的作用下袋的竖直分动量变为零，同时水平方向袋受到摩擦力的冲量使得袋的水平速度减小。袋与地板碰撞的时间极短，在竖直方向利用动量定理时可以忽略面粉袋自重产生的冲量，即有

N•Δt=mvsinα

假设Δt=Δt，则在水平方向上摩擦力产生的冲量为

f•Δt=μN•Δt=μmvsinα≈0.61mv

而袋的水平方向动量为p=mvcosα=0.5mv。所以实际上摩擦力的存在时间Δt＜Δt，袋的水平分速度比竖直分速度先变为零，因此袋是停在斜面的末端。

思考：若例2中H=2 m，α=45°，μ=0.5，袋又将停在何处？

提示：袋滑到斜面底端的速度为v=，根据N•Δt=mvsinα，－f•Δtf=－μNΔt=mvx－mvcosα，得vx=v（cosα－μsinα），袋停的位置距斜面末端为x===0.5 m。

三、需对Δt=Δt或Δt<Δt进行讨论的情形

例3如图2所示，质量足够大的长木板在水平方向上以速率v0匀速向右运动，板上方h高度处有一小球从静止开始自由下落并与板发生碰撞。小球与板之间的动摩擦因数μ=0.1，小球反弹的高度仍为h。试求小球反弹的抛射角α的正切tanα与之间的函数关系，并画出函数图象。

解析碰撞前后小球在竖直方向的速度大小都为v=，碰撞过程中在水平方向、竖直方向分别运用动量定理，有

N•Δt=2mv， f•Δt=mv

v为小球碰后的水平速度。当Δt=Δt时，根据f=μN，可得v=2μv，v不能大于v，即要求2μv≤v。故当

v≥2μ=时，小球碰撞后抛射角α的正切为tanα===5。

若Δt<Δt，即v＜时，小球反弹时的水平速度与木板的速度相同，有v=v，因此tanα==。

综上所述，tanα与的函数关系为

tanα=50<≤•<

图象如图3所示。

例4有一质量及线度足够大的水平板，绕竖直轴以角速度ω匀速旋转。在板的上方h处有一群相同的小球（可视为质点），它们以板的转轴为中心、R为半径均匀地在水平面内排成一个圆周（以单位长度内小球的个数表示其数线密度）。现让这些小球同时从静止状态开始自由落下，设每个球与水平板发生碰撞的时间非常短，而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变，仅是方向反向；而在水平方向上则会发生滑动摩擦，动摩擦因数为μ。试求这群小球第二次和第一次与水平板碰撞时小球数线密度之比值ν0。

解析设小球总数为n，第一次碰撞时小球数线密度为λ=。某个小球与板碰撞时，在竖直方向有N•Δt=2m，若Δtf=Δt，小球在Δtf时间内获得的水平速度v1，小于ωR，有f•Δtf=μNΔt=mv，解得v=2μ。小球第一次碰后做斜抛运动，水平射程x=2v=8μh，第二次落到板上形成以R==为半径的圆，小球数线密度为λ=，则比值ν===（2μ＜ωR）。若Δt<Δt，小球在第一次碰后离开水平板前已与板相对静止，则v′=ωR，同理可求得这种情况下小球数线密度ν′=（2μ≥ωR）。