数形结合 促进有效建模

金 勤

数学模型是对现实世界的一个特定对象，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化，运用适当的数学工具，形成的一个数学结构。

随着新课程的不断深入，在形成这一数学结构的过程中，不少教师对教学情境的创设、问题解决方法的多样化等格外重视，而忽视了学生思维的发展过程，使学生在数学模型建立过程中感到枯燥而乏味。本文就新课程实施过程中，如何运用数形结合思想，促进学生有效地建构数学模型，使数学的抽象性与其符号简练的特性二者有机相融，谈一些粗浅的认识。

一、以形论数，促进有效建模

数学模型的建立过程。其实是一个不断转化的过程。学生首先将文字表述或是数学问题转化为自己的图式，再由这一图式转化成数学符号，从而建立起为学生自己所理解、接受的数学模型。但在常态教学过程中，我们常常发现低年级学生在充分感知后，教师忽视了引导学生及时地进行适当的抽象，而高年级学生则直观感知不够充分，抽象的过程太早太快。因此，要让学生在充分直观感知的基础上，先将抽象的语言文字转化成图形，然后学会使用抽象的数学符号来表达图形，降低学生思维的难度，从而有效地帮助学生理解知识、构建模型。

课堂回放(一)：人教版小学数学第六册第108页的“集合”。

教师出示：三(1)班参加语文、数学课外兴趣小组学生名单

师：从上表中，你能获得哪些数学信息?你又能提出什么数学问题?

生1：参加语、数课外小组的同学一共多少人?

师：谁能解决这个问题?

生2：8+9=17(人)。

生3：8+9-3=14(人)。

师：究竟有多少人呢?谁能用一幅图来解决这个问题?看看谁设计的图既简单又明了。

[分析：在实际教学过程中，教师选择了“数形结合”的方法，引导学生经历从独立到交叉重复的过程，为帮助学生理解韦恩图，而引导学生用图来表示。原以为在学生的认知结构中已经积累了解决此类问题的方法，或是在头脑中已经建立了某种有效的图式，只需发挥表象的作用，便能在“不重复、不遗漏”的基础上轻松建立起“集合”这一模型。而实际教学情况并非如此，学生对集合的特性及集合内各元素的意义等难以理解。]

课堂回放(二)：人教版小学数学第六册第108页的“集合”。

教师出示：下图中的动物至少可以分成几类?

生1：我认为可以分成两类，一类是游的，是1、3、5、6、9；还有一类是飞的，包括2、4、7、8、10。

生2：老师，我也分成两类，只是天鹅分到哪里去呢?

……

师：谁能用一幅图来解决这个问题?看看谁设计的图既简单又明了，并说说你是怎么想的。

[分析：“以形论数”正是将抽象的语言文字或是抽象的数学问题转化为简洁明了的图形，再由形的变化抽象为数学符号。在学生能用图形验证出其结果正确后，教师及时地跟进：“我们如何用算式表示呢?”这样就把形和数紧密地联系起来，从而清晰有效地构建起“集合”这一模型及其各部分属性。]

二、借数解形，促进有效建模

学生在建立数学模型的过程中，通常经历三个阶段，即形象——表象——抽象。表象是形象思维与抽象思维间的桥梁，它是促进形象思维向抽象思维的跨越与提升。表象是人脑对当前没有直接作用于感觉器官的，以前感知的事物形象的反映。

课堂回放(三)：人教版小学数学第十册第132页的“打电话”。

教师出示：一个合唱队共有15人，暑假期间有一个演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1个人，请帮助老师设计一个打电话的方案。

[分析：学生在设计方案过程中，能够自觉地将抽象的语言文字转化为自己知识结构中的图形展开研究。但是，面对学生设计的缤纷的“形”，教师忽视了还需要提升，以至于在“直观世界”里随着学生的思维运行而无法理清思路。]

课堂回放(四)：人教版小学数学第十册第132页的“打电话”。

教师出示：一个合唱队共有15人，暑假期间有一个演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1个人，请帮助老师设计一个打电话的方案。并完成下表：

[分析：同样，学生在设计方案过程中，都能够自觉地将语言文字转化为图形展开研究。所不同的是，在第二次课堂教学过程中，教师有意识地设计了这样一张表格，使学生在头脑中形成相关的图形表象之际及时地进行抽象，获得其潜隐着的共同的本质特性。再以此类推，或可用算式计算所得，这就是数学模型。这个模型的构建，同样可以支撑学生在解决后续问题过程中的数学思考。]

三、数形相融，促进有效建模

从数的认识到扳手指计算，从数学模型的由来到数学模型的建构，都离不开思维的运行。无论是从形象思维到表象思维再到抽象思维，整个过程中都渗透着由数思形、由形思数、数形相融、数形相通的数形结合思想。

课堂回放(五)：人教版小学数学第八册第47页的练习。

出示：李大爷家有一块菜地，这块菜地的面积是多少?

[分析：我们在计算这一组合图形时，可以将这组合图形分成两个长方形，一个长方形面积为21×9，另一个长方形面积为19×9。于是，这组合图形的面积计算便演变成了21×9+19×9=(21+19)×9。从而解释证明了乘法分配律，这便是数与形的对照和交融。]

课堂回放(六)：人教版小学数学第八册第121页的练习。

教师出示：要在五边形的水池边摆上花盆，使每一边都有4盆花，可以怎样摆?至少需要摆多少盆?

师：在一个五边形水池边上摆花盆，每边摆4盆，可以怎样摆呢?

生1：至少要20盆，每边摆4盆，有5条边也就是5个4，4×5=20(盆)。(图一)

生2：不对。在摆的时候，顶点的这一盆既是一条边上的起点，也是另一条边上的终点，所以应该是15盆。(图二)

生3：我们可以看成每边摆4盆，5条边，就有4×5=20(盆)，其中每个顶点上都重复计算了，要将这5盆去掉，所以是20-5=15(盆)。(图三)

生4：我们根据刚才这位同学的思路，可以看成每边上摆2盆，那么5条边就是2×5=10(盆)，再加上每个顶点处摆的1盆，就一共有5+10=15(盆)。(图三)

生5：我可以把它看成底边上摆4盆，两条边上摆2盆，两条边上摆3盆，顶点上摆一盆，一共是4+2+2+3+3+1=15(盆)。(图四)

……

师：你能否发现解决这类问题要注意些什么?

生6：无论是几边形，都要注意每顶点上的花盆不能重复摆……

［分析：将奥数训练中的“植树问题”移到教材中，原本只需少数人掌握，而如今需要全班学生去了解，去构建这种模型。于是，解决此类问题最为有效的方法是我们思考的关键，而“数形结合”显然是最有助于学生理解此类问题的有效途径。通过借助图形，充分感知，在全方位、多角度思考过后，学生能独立地对此类问题以多种策略进行充分的解释。]

总之，在实施新课程过程中，我们在努力创设情境、强化解决问题策略多样化的同时，也应该将传统的数形结合思想渗透于其中，引导学生用自己知识结构体系中的数、式、形、表格、图像等去描述所发现的数学模型，在丰富感知的基础上，积极地揭示数学内在的规律，用简约、深刻的数学语言建构起抽象的数学模型，自始至终享受着简约与抽象的数学之美。