勾股定理:数学学科德育的重要载体

张维忠

勾股定理几乎是全世界中学数学课程中都介绍的内容。这是因为勾股定理不仅对数学的发展影响巨大，而且在人类科学发展史上意义非凡。著名网络科普作家培米姆·安萨利近年提出人类最伟大的10项科学发现中，第一项就是勾股定理(其它9项依次是微生物的存在、牛顿三大运动定律和微积分、物质结构、血液循环、电流、物种进化、基因、热力学四大定律、光的波粒二象性导致量子力学的诞生)。勾股定理是数学学科德育的重要载体，因为它不仅是对学生进行辩证思想方法教育的良好素材，而且也是探索性学习不可或缺的题材，通过勾股定理的欣赏与应用，还能让学生接受文化的洗礼与熏陶，用心灵去体会数学独特的魅力。

二、探索性学习不可或缺的题材

数学新课程理念下的数学学习将大量采用操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等活动方式。而勾股定理是

三、通过勾股定理的欣赏与应用，接受文化的洗礼与熏陶，体会数学独特的魅力

勾股定理是一条古老的数学定理，不论哪个国家、民族，只要是具有自发的(不是外来的)古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理。在西方文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580－约前500)的名字来命名，称为毕达哥拉斯定理。更有趣的是我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“语言”时，就提出把“数形关系”(勾股定理)带到其它星球，作为地球人与其它星球上的“人”进行第一次“谈话”的语言。可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。因此，世界各国都非常重视勾股定理的社会文化价值，许多国家还发行了诸多勾股定理的相关邮票。

据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术(即勾股的计算方法)用来确定两处水位的高低差。可以说，禹是世界上有史记载的第一位与勾股定理有关的人。又有研究表明：古巴比伦时期(公元前1900－1600年)数学泥版文献中的一些几何或代数问题表明，勾股定理早在公元前两千年就在两河流域的美索不达米亚文明中得到了广泛应用。这要比毕达哥拉斯早一千多年。我们常常用勾股定理“谁比谁早多少年”来对学生进行爱国主义教育。然而，历史告诉我们：数学是全人类共同的遗产，不同文化背景下的数学思想、数学创造都是根深叶茂的世界数学之树不可分割的一枝。勾股定理的证明层出不穷，至今已多达近四百种，既有代数的方法，也有几何的方法，而且这些方法来自于东西方不同的文化。如果将这些多元文化的事例引入中小学数学课堂，我们就会发现“谁比谁早多少年”已经不是最重要的了，重要的是：这会让我们的学生消除民族中心主义的偏见，以更宽阔的视野去认识古代文明的数学成就；同时，通过不同数学思想方法的对比，可提高学生数学创造性思维能力，并学会欣赏丰富多彩的数学文化。从而以平等、开放的眼光看待本民族与其他民族文化传统之中的数学成果，树立正确的数学观，实现多元文化观点下的数学教育目的。

需要进一步指出的是，出生于法国南部的费马(Pierre de Fermat，1601--1665)，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，所以人们称他为业余数学家之王。他通过勾股定理，问是否有正整数x，y，z还能满足xⁿ+yⁿ=zⁿ(n)2)?后人称之为费马大定理。费马当时就说，“只有n=2时成立，其余的都不行。我已经有了证明，可惜我手头书的空白太小，写不下。”可是，以后的数学家花了几百年时间也没有证出来。数学家希尔伯特(Hilbert，D.1863--1943)称费马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”。这是因为费马大定理的故事与数学的历史有着千丝万缕的联系，触及到数论中的所有重大课题。它对于“是什么推动着数学发展”，或许更重要的“是什么激励着数学家们”提供了一个独特的见解。费马大定理是一个充满勇气、欺诈、狡猾和悲惨的英雄传奇的核心，牵涉到数学王国中所有的最伟大的英雄。这只母鸡最终被英国数学家怀尔斯(A.Wiles，1953－)宰杀。经过三百多年之后，怀尔斯于1995年终于证明费马的猜想是正确的(图7)。