牛顿变换Julia集的对称性

阳卫锋

(湖南工程学院数理系,湖南湘潭 411104)

牛顿变换Julia集的对称性

阳卫锋

(湖南工程学院数理系,湖南湘潭 411104)

主要讨论多项式的牛顿变换Julia集的对称性问题.利用复动力系统理论,证明了多项式P(z)的Julia集的对称群是其牛顿变换NP(z)的Julia集的对称群的子群.获得了Julia集为一水平直线的充分必要条件.

牛顿变换;Julia集;对称群;共形欧氏变换

1 引言

Julia集的性质是复动力系统研究的主要部分,而Julia集的几何对称性问题是其中一个重要课题.文[7]研究了多项式函数的Julia集的对称性,文[8]研究了临界有限的有理函数的Julia集的对称性,文[9]分析了有理函数的Julia集具有平移不变性的情形.

定义1.1设R是一个有理函数,R的Julia集的对称群Σ(R)为保持J(R)不变的共形欧氏变换σ构成的群,即Σ(R)={σ∈ε:σ(J)=J},其中ε={σ:σ(z)=az+b,|a|=1}.

当R是一多项式函数

其首项系数An=1,An−1=0.

文[7]证明了下列两个定理

定理A设多项式P(z)的次数deg(P)≥2.则对称群Σ(P)是由以P(z)的形心为中心的旋转变换构成的.如果P(z)是标准型的,而且Σ(P)是有限的,则Σ(P)的阶为使得P(z)可表示成P(z)=zrQ(zm)的最大整数m,其中Q(z)为一多项式.

定理B设多项式P(z)的次数deg(P)≥2.如果对称群Σ(P)是无限的,那么J(P)是一个圆周,并且P(z)共轭于zn,其中n=deg(P).

由定理A知多项式的Julia集的对称群只由旋转变换构成,而有理函数的Julia集的对称群中可以存在平移变换.文[9]得到下列重要定理

2 牛顿变换Julia集的对称性

由于多项式P(z)与其标准型多项式是共形共轭,所以具有相同的动力学性质,然而各自的牛顿变换之间不一定是共形共轭的,从而可能具有不同的动力学性质.

易知n次多项式P(z)有至多n个标准型多项式与之对应,我们将P(z)的标准型多项式均记为PN(z).

即S◦NP◦S−1(z)=NPN(z),因此NP(z)与NPN(z)是共形共轭的.

以上表明牛顿变换对多项式不是保共轭.但是下面的定理表明,在一定程度上,牛顿变换对Julia集是保对称的.

显然有σ◦NP◦σ−1(z)=NP(z),故σJ(NP)=J(NP),从而可知σ∈Σ(NP).因此可得Σ(P)⊂Σ(NP).

定理3设多项式P(z)的次数deg(P)≥2,NP(z)是对应的牛顿变换,则J(NP)的对称群Σ(NP)包含平移变换σ(z)=z+1当且仅当J(NP)是一水平直线.

证明当J(NP)是一水平直线时,显然对称群Σ(NP)包含平移变换σ(z)=z+1.

另一方面,若Σ(NP)包含平移变换σ(z)=z+1,则NP(z)满足定理C的条件.故J(NP)是一水平直线或全平面.然而多项式P(z)次数至少为2,至少有一个零点,从而NP(z)有一个吸性不动点,因而F(NP)/=∅,J(NP)/=ˆC.所以J(NP)是一水平直线.

那么,什么情况下牛顿变换的Julia集是一条直线?下面的定理回答了这个问题

定理4当且仅当多项式P(z)=c(z−a)n(z−b)n(n≥1,a/=b)时,J(NP)是一条直线.

[1]Beardon A F.Iteration of Rational Functions[M].Berlin:Springer-Verlag,1991.

[2]Milnor J.Dynamics in One Complex Variable[M].3rd ed.Princeton:Princeton University Press,2006.

[3]Carleson L,Gamelin T.Complex Dynamics[M].Berlin:Springer-Verlag,1993.

[4]周维民,任福尧.有理函数系随机迭代系统的Julia集[J].科学通报,1991,36(21):1604-1604.

[5]龚志民,任福尧.关于随机动力系统的Fatou-Julia猜测[J].纯粹数学与应用数学,1996,12(2):23-27.

[6]阳卫锋,李颖,龚志民.有限个有理函数的随机复动力系统的Julia集[J].数学进展,2004,33(4):447-452.

[7]Beardon A F.Symmetries of Julia sets[J].Bull.London Math.Soc.,1990,22:575-582.

[8]Levin G.Symmetries on a Julia set[J].Adv.in Sov.Math.,1991,3:131-141.

[9]Boyd D.Translation invariant Julia sets[J].Proc.Amer.Math.Soc.,2000,128:803-812.

Symmetries of the Julia sets for Newton’s method

YANG Wei-feng
(Department of Mathematics Physics,Hunan Institute of Engineering,Xiangtan411104,China)

The symmetries of Julia sets of Newton’s method is investigated.Using the theory of complex Dynamical system,it is shown that the group of symmetries of Julia sets of polynomial is a subgroup of that of the corresponding Newton’s method.A necessary and sufficient condition for Julia sets of Newton’s method to be a horizontal line is arrived.

Newton’s method,Julia set,group of symmetries,conformal Euclidean isometry

O174.5

A

1008-5513(2009)03-0530-04

2008-09-28.

湖南省教育厅项目(06C245).

阳卫锋(1977-),硕士,研究方向：复解析动力系统.

2000MSC:30D05