G-De Morgan代数的G-同态与G-同余

罗从文,陈继华

(三峡大学理学院,湖北宜昌 443002)

G-De Morgan代数的G-同态与G-同余

罗从文,陈继华

(三峡大学理学院,湖北宜昌 443002)

将De Morgan代数的自同构群对De Morgan代数的作用,推广成抽象群对De Morgan代数的作用,引入了G-De Morgan代数的概念,讨论了G-De Morgan代数的G-同态、G-同余等性质,并研究了G-De Morgan代数的直积分解和次直不可约性.

G-De Morgan代数;G-同态;G-同余

1 引言

一个De Morgan代数是带有一个一元运算“'”且满足De Morgan律和对合律的有界分配格.De Morgan代数是布尔代数的推广,在非经典逻辑中具有重要的作用[1-4].De Morgan代数的所有自同构关于映射的合成构成一个群.任意群和De Morgan代数的自同构群的同态关系,就是群的De Morgan代数自同构群表示问题,这是群论中很重要,很感兴趣的问题.文[5]中把集合的变换群对集合的作用推广成抽象群对集合的作用,由此研究群自身的结构,得到了十分漂亮而完整的结构理论.在环论中,用交换群代替集合,用交换群的自同态环代替集合的变换群,产生了环上模的概念,从而得到了环的表示理论.仿照群的群作用方法和环的模论方法,在本文中,我们把De Morgan代数的自同构群对De Morgan代数的作用,推广成抽象群对De Morgan代数的作用,得到了G-De Morgan代数的概念,把寻找群的De Morgan代数自同构群表示问题归结为寻找G-De Morgan代数的问题,给出了G-De Morgan代数的G-子代数、G-同态、G-同余等概念,研究了G-De Morgan代数的直积分解和次直不可约性.

2 G-De Morgan代数的定义和性质

定义1设G是一个群,AutM是De Morgan代数M的自同构群,称G到AutM的一个同态φ为群G的一个(自同构群的)表示.

定义2设G是一个群,M是一个De Morgan代数.若存在一个G×M到M的映射(以gm表示(g,m)的象)满足条件:∀g,h∈G,x,y∈M,有

(1)ex=x,g0=0,g1=1,其中e是群G的单位元,0和1分别是M的最小元和最大元;

(2)g(hx)=(gh)x;

(3)g(x∧y)=gx∧gy;

(4)g(x∨y)=gx∨gy;

(5)gx'=(gx)'.

则称M是一个G-De Morgan代数.

一个给定的De Morgan代数可以有许多不同的G-De Morgan代数结构.

例1设G是一个群,则每个De Morgan代数M可以作成G-De Morgan代数,其中gm定义为m,对于任意g∈G,m∈M.

例2设M是一个De Morgan代数,AutM是M的自同构群.则M是AutM-De Morgan代数,其中fm定义为f(m),对于任意f∈AutM,m∈M.

例3设群G={e,g},其中eg=ge=g,g2=e2=e,A1,A2和B分别为如下图所示的De Morgan代数

图1 De Morgan代数A1,A2及B

它们分别按下面表1-3的作用方式成为G-De Morgan代数.

表1 群G对De Morgan代数A1的作用

表2 群G对De Morgan代数A2的作用

表3 群G对De Morgan代数B的作用

下面说明群G的表示和G-De Morgan代数是一回事.

设φ:G→AutM是群G的一个表示.对任意g∈G,x∈M,利用φ定义:gx=φ(g)(x),这里φ(g)∈AutM.而φ(g)(x)是x在φ(g)下的象.直接验证可知,M成为一个G-De Morgan代数.例如由于φ(e)=1M.故有ex=φ(e)(x)=1M(x)=x.又如gx'=φ(g)(x')=(φ(g)(x))'=(gx)'.这样,有群G的一个表示,就得一个G-De Morgan代数.

3 G-同态与G-同余

命题4设G是一个群,A和B都是G-De Morgan代数,函数ψ:A→B是G-De Morgan代数之间的一个G-同态.则ψ的核Kerψ={a∈A|ψ(a)=0}是A的一个G-理想.

注2对于一个给定的群G,所有G-De Morgan代数与G-同态显然形成一个范畴.

定义6设G是一个群,M是一个G-De Morgan代数,M上的De Morgan代数同余ϑ叫做一个G-同余是指对于任意g∈G,若(a,b)∈ϑ,则(ga,gb)∈ϑ.

例6在例3中G-De Morgan代数A1的关系ϑ1={{0,b},{a},{a'},{b',1}}是A1的G-同余, G-De Morgan代数A2的关系ϑ2={{0,a},{b,e,b',d},{c},{a',1}}是De Morgan代数A2上的同余,但不是G-De Morgan代数A2的一个G-同余,因为(0,a)∈ϑ,但(g0,ga)/∈ϑ.

命题5设G是一个群,A和B都是G-De Morgan代数,函数ψ:A→B是一个G-同态.则N= {(a1,a2)∈A×A|ψ(a1)=ψ(a2)}是A的一个G-同余.

定理1设G是一个群,M是一个G-De Morgan代数,关系ϑ是M的一个G-同余.则商代数M/ϑ是一个G-De Morgan代数,其中g[a]定义为[ga]且映射π:M→M/ϑ,a→[a]是G-De Morgan代数之间的一个G-满同态.

证明若[a]=[b],则(a,b)∈ϑ.由于ϑ是M的一个G-同余,因此(ga,gb)∈ϑ,即[ga]=[gb].这说明这个定义是有意义的.显然M/ϑ是一个De Morgan代数.因为

4 G-De Morgan代数的直积分解与次直不可约性

[1]Balbes R,Dwinger Ph.Distributive Lattices[M].Missouri:University of Missouri Press,1974.

[2]Blyth T S,Varlet J C.Ockham Algebras[M].London:Oxford Univ.Press,1994.

[3]罗从文.De Morgan代数[M].北京:北京理工大学出版社,2005.

[4]王尊全.MS-代数的理想和同余关系[J].纯粹数学与应用数学,2004,20(4):389-392.

[5]Hungerford T W.Algebra[M].New York:Spring-Verlag,1980.

[6]Blyth T S,Silva H J.Direct decompositions of Ockham Algebras[J].Algebra Colloquium,2004,2:239-248.

[7]Sankappanavar H P.A Characterization of Principal Congruences of De Morgan Algebras and its Applications[C]//Arruda A I,Chuaqui R,Da Costa N C A.Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Santiago:north Holland,1980.

The G-homomorphisms and the G-congruences
on a G-De Morgan algebra

LUO Cong-wen,CHEN Ji-hua
(College of Science,China Three Gorges University,Yichang443002,China)

We extend the action of the automorphism group of a De Morgan algebra on the De Morgan algebra to the action of a group on a De Morgan algebra,and introduce the concept of the G-De Morgan algebra,and then discuss the properties of the G-homomorphism and G-congruence of a G-De Morgan algebra and study the direct product decomposition and the subdirect irreducible G-De Morgan algebras.

G-De Morgan algebra,G-homomorphism,G-congruence

O153.1

A

1008-5513(2009)04-0743-06

2008-02-10.

湖北省教育厅自然科学研究重点项目(2004D006).

罗从文(1965-),教授,研究方向：De Morgan代数理论.

2000MSC:06D30