关于左型A半群上的fuzzy同余

李春华,刘二根,徐保根

(华东交通大学基础科学学院,江西南昌 330013)

关于左型A半群上的fuzzy同余

李春华,刘二根,徐保根

(华东交通大学基础科学学院,江西南昌 330013)

引入了左富足半群上fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的概念,给出了左富足半群上fuzzy右好同余的性质和特征.在此基础上,给出了左型A半群上fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的性质.得到了左型A半群上的fuzzy右好同余为fuzzy右消去同余的充要条件.

左富足半群;左型A半群;fuzzy右好同余;fuzzy右消去同余

众所周知,半群同余是刻画半群性质最深刻的工具之一.自Samhan在文[1]中定义了半群上的fuzzy同余关系,对半群上的fuzzy同余进行了研究之后,国内外许多学者对各类半群上的fuzzy同余进行了卓有成效的研究[25].作为后续研究,本文进一步定义了左富足半群上的fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的概念,并给出了左富足半群上fuzzy右好同余的性质和特征.在此基础上,给出了左型A半群上fuzzy右好同余和fuzzy右消去同余的性质[67].得到左型A半群上的fuzzy右好同余为fuzzy右消去同余的充要条件.

1 预备知识

文中一般定义及记号均参见文[8-9].

设X是一个非空集合,称映射f:X→[0,1]为X的一个fuzzy子集.∀x∈X,称f(x)为x对f的隶属度.令S为半群,称映射µ:S×S→[0,1]为S上的fuzzy关系.

定义1.1[8]令µ,ν为半群S上的两个fuzzy关系,作如下定义:

(1)µ⊆ν⇔∀x,y∈S,µ(x,y)≤ν(x,y);(2)µ◦ν(a,b)=∨x∈S{µ(a,x)∧ν(x,b)}.

定义1.2[8]令µ为半群S上的fuzzy关系,则称µ为半群S上的fuzzy等价关系,如果∀a,b∈S下列各款成立:(1)µ(a,b)=1;(2)µ(a,b)=µ(b,a);(3)µ◦µ⊆µ.

定义1.3[8]令µ为半群S上的fuzzy关系,则称µ在S上关于乘法是相容的,如果∀a,b,x∈S下列各款成立:(1)µ(ax,bx)≥µ(a,b);(2)µ(xa,xb)≥µ(a,b).

半群S上的fuzzy等价关系µ称为S的fuzzy同余,如果µ在S上关于乘法是相容的.为方便记,用µa表示半群S上所有与a具有µ关系的fuzzy子集;用Cρ表示半群S上的二元关系ρ的特征函数.不难验证,ρ为S上的同余等价于Cρ为S上的fuzzy同余.令µ为半群S上的fuzzy同余,按如下定义乘法“∗”:µa∗µb=µab(∀a,b∈S),则容易验证S/µ={µa|a∈S}关于乘法∗为半群且∀e∈E(S),µe=(µe)2.

引理1.1[8]令µ为半群S上的fuzzy同余,则

(1)∀a,b∈S,µa=µb⇔µ(a,b)=1;

(2)β={(a,b)∈S×S|µ(a,b)=1}为S上的同余.

Fountain在文[9]中定义了半群S上的等价关系R∗,S的元素a,b符合关系R∗当且仅当(∀x,y∈S1)(xa=ya⇔xb=yb),其中S1=S∪{1}.

引理1.2[9]令S为半群,a,b,e=e2∈S,则以下各款等价:

(1)aR∗e;

(2)a=ea且∀x,y∈S1,xa=ya⇒xe=ye.

一般地,R⊆R∗,但当a,b是正则元时,aR∗b当且仅当aRb.为方便记,用Ra∗表示含a的R∗类, E(S)表示S中幂等元集.记a+为E(Ra∗)中元.半群S称为左富足的,若它的所有R∗类都含幂等元.左富足半群S称为左适当的,若它的所有R∗类都含唯一幂等元且它的幂等元集为半格.显然,幂等元集为半格的左富足半群为左适当半群.左适当半群S称为左型A的,若对S中任意元素a及幂等元e,恒有ae=(ae)+a.

引理1.3[10]令S为左型A半群,a,b∈S,按如下定义关系σ

则σ为S上最小的右消去同余.

2 主要结果

[1]Samhan M.Fuzzy congruences on semigroups[J].Inform.Sci.,1993,74:165-175.

[2]Xie X Y.Fuzzy Rees congruences on senigroups[J].Fuzzy Sets and Systems,1999,102:353-359.

[3]Tan Y J.Fuzzy congruences on a regular semigroup[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,117:447-453.

[4]Zhang C.Fuzzy congruences on completely 0-simple semigroups[J].Fuzzy Math.,2002,10:27-48.

[5]李春华.适当半群上的模糊好同余[J].南昌大学学报:理科版,2007,31(1):35-37.

[6]郭小江,田振际.右消去幺半群、左正则带和左正则型-A幺半群[J].数学研究与评论,1999,19(3):563-568.

[7]Guo X J,Xie X Y.A note on left type-A semigroups[J].Semigroup Forum,1999,58:313-316.

[8]John N,Mordeson,Davender S,et al.Fuzzy Semigroups[M].New York:Springer-Verlag,2003.

[9]Fountain J B.Abundant semigroups[J].Proc.London Math.Soc.,1982,44:103-129.

[10]Fountain J B,Gomes G M S.Proper left type A monoids revisited[J].Glasgow Math.J.,1993,35:293-306.

On fuzzy congruences of left type-A semigroups LI Chun-hua,LIU Er-gen,XU Bao-gen

(School of Basic Science Departments,East China Jiaotong University,Nanchang330013,China)

This paper introduces the notions of a fuzzy right good congruence relation and a fuzzy right cancellative congruence relation on left abundant semigroups,and gives some properties and characterizations of fuzzy right good congruences on such semigroups.On this base,some properties of fuzzy right good congruences and fuzzy right cancellative congruences on left type-A semigroups are given.Finally,sufficient and necessary conditions for a fuzzy right good congruence on a left type-A semigroup to be fuzzy right cancellative are proved.

left abundant semigroup,left type-A semigroup,fuzzy right good congruence,fuzzy right cancellative congruence

O152.7

A

1008-5513(2009)04-0681-05

2008-02-10.

国家自然科学基金(10661007),江西省自然科学基金(07GZS0715),江西省教育厅基金(GJJ08254,GJJ07134),华东交通大学科研基金(01308136).

李春华(1973-),硕士,讲师,研究方向：半群代数理论.

2000MSC:20M10