一个包含Euler函数及k阶Smarandache ceil函数的方程及其正整数解

朱敏慧

(西安工程大学理学院,陕西西安 710048)

一个包含Euler函数及k阶Smarandache ceil函数的方程及其正整数解

朱敏慧

(西安工程大学理学院,陕西西安 710048)

设k≥2为给定的整数.对任意正整数n,k阶Smarandache ceil函数Sk(n)定义为Sk(n)=min{x:x∈N,n|xk}.本文的主要目的是利用初等方法研究函数方程Sk(n)=φ(n)的可解性,并给出该方程的所有正整数解,其中φ(n)为Euler函数.

k阶Smarandache ceil函数；Euler函数；方程；正整数解

1 引言

其中d(n)为Dirichlet除数函数,ζ(s)为Riemann zeta-函数.

本文的主要目的是研究函数方程Sk(n)=φ(n)的可解性,并求出该方程的所有正整数解,其中φ(n)为Euler函数.具体地说也就是利用初等方法证明下面两个结论:

定理1对任意正整数n,方程S2(n)=φ(n)成立当且仅当n=1,4,8,18,54.

定理2设k≥3为给定的整数.则对任意正整数n,方程Sk(n)=φ(n)成立当且仅当n=1,4,18.

2 定理的证明

这节利用初等方法直接给出定理的证明.文中所用到Euler函数的性质均可以在文[7-8]中找到,所以这里不必重复！

首先证明定理1.

显然n=1是方程S2(n)=φ(n)的一个解.n=2不是该方程的解！如果该方程有其它解n≥3,那么n一定为偶数,因为当n≥3时,Euler函数φ(n)为偶数!

综合以上分析,推出方程S2(n)=φ(n)成立当且仅当n=1,4,8,18,54.于是完成了定理1的证明.

现在证明定理2.

当k≥3时,容易验证n=1满足方程Sk(n)=φ(n).于是假定n＞1.以下分两种情况讨论.

[1]Smarandache F.Only problems,Not Solutions[M].Chicago:X iquan Publishing House,1993.

[2]Sabin Tabirca,Tatiana Tairca.Some new results concerning the Smarandache ceil function[J].Smarandache Notions Journal,book series,2002,13:30-36.

[3]Ren Dongmei.On the Smarandache Ceil Function and the Dirichlet Divisor Function[C]//Research on Smarandache problems in number theory(Vol.II),Phoenix:Hexis,2005:51-54.

[4]Xu Zhefeng.On the Smarandache Ceil Function and the Number of Prim e Factors[C]//Research on Smarandache problems in number theory,Phoenix:Hexis,2004:71-76.

[5]Lu Yaming.On a Dual Function of the Smarandache Ceil Function[C]//Research on Smarandache problems in number theory(Vol.II).Phoenix:Hexis,2005:54-57.

[6]沈虹.一个新的数论函数及其它的值分布[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(2):235-238.

[7]张文鹏.初等数论[M].西安:陕西师范大学出版社,2007.

[8]Apostol T M.Introduction to Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag,1976.

An equation involving the Euler function and the Smarandache ceil function of korder and its positive in teger solu tions

ZHU min-hui

(School of Science,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710069,China)

Letk be afixed positive integer with k≥2.For any positive integer n,the Smarandache ceil function of k order is defined as Sk(n)=min{x:x∈N,n|xk}.The main purpose of this paper is using the elementary method to study the solvability of the equation Sk(n)=φ(n),and obtain its all positive integer solutions,whereφ(n)is the Euler function.

Smarandache ceil function of k order,Euler function,equation,positive integer solutions.

O156.4

A

1008-5513(2009)02-0414-03

2008-06-23.

国家自然科学基金(10671155),陕西省教育厅科研专项基金(07JK 267).

朱敏慧(1977-),讲师,研究方向：数论.

2000M SC:11B83