关于一般化凸乘积空间上的极大元和平衡点

朴勇杰,姜今锡,钟立楠

(延边大学理学院数学系,吉林延吉 133002)

关于一般化凸乘积空间上的极大元和平衡点

朴勇杰,姜今锡,钟立楠

(延边大学理学院数学系,吉林延吉 133002)

利用一般化凸乘积空间上的Fan-Browder型不动点定理给出了新的极大元存在定理,然后定义了两个概念:“类Uθ”和“类V”,并讨论了在抽象经济中平衡点的存在性问题.文中所得结论改进和推广了文献中的相应结果.

一般化凸空间;Γ-凸;极大元;平衡点;类Uθ;类V

1 引言与预备知识

在过去的30多年里,已经出现了很多关于Warlasian平衡点存在问题的古典的A rrow-Debreu定理[1]的一般化形式.首先,文[2]利用极大元方法给出了竞争性平衡的存在性的证明.另一方面,文[3]在局部凸拓扑线性空间上通过引进具有类Lθ的优先映射给出了一个新的存在定理.

为了给出极大元或平衡点的存在定理,我们可以把平衡点的存在问题转化成与之等价的相应映射的不动点的存在问题.

我们首先给出一些概念和注记.

一般化凸空间（简称G-凸空间）(X,D;Γ)是由一个拓扑空间X和一个非空集合D组成，并满足对任何A={a0,a1,…,an}∈〈D〉,存在一个X的子集Γ(A)和一个连续函数使得由J⊂{0,1,2,…,n}推出φn(∆J)⊂Γ({aj:j∈J}).这里〈D〉表示D的所有非空子集全体，∆n表示顶点为v0,v1,…,vn的n-单形，而∆J=co{vj:j∈J}表示相应于J的∆n的面.我们用ΓA表示Γ(A),对任何A∈〈D〉.

已有许多G-凸空间的例子[1112].其典型例子是拓扑线性空间中的任何凸子集,Lassonde[13]意义下的凸空间以及Hovarth[14]的C-空间(也称H-空间).

本文假设D⊂X,并且如果D=X,则用(X;Γ)表示(X,D;Γ).

对G-凸空间(X,D;Γ),称非空子集Y⊂X为Γ-凸的,如果每个N∈〈D〉且N⊂Y推出ΓN⊂Y.并Y的Γ-凸包按下列方式给出:

设X和Y是两个拓扑空间.一个集值映射(简称,映射)T:X—Y是指X到Y的幂集2Y的映射.称T(x)为T在x的值,并记T(A)=∪{T(x):x∈A},对A⊂X.

根据T,我们可定义如下一些映射:

2 极大元与平衡点

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[2]Gale D,M asColell A.On the Role of Com p lete,Transitive Preference in Equilibrium Theory[M]//Schw¨diauer G.Equilibrium and D isequilibriumin Econom ic Theory.Dordrecht:Reidel,1978.

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[16]朴勇杰.一般化凸空间上的一些基本性质[J].延边大学学报:自然科学版,2002,28(3):157-159.

Onmaximal elements and equilib rium points on generalized convex product spaces

PIAO Yong-jie,JIANG Jin-xi,ZHONG Li-nan

(Departm ent of Mathem atics,College of Science,Yanbian University,Yanji 133002,China)

NeWexistence theorems of m axim al elem ent are given by using the Fan-Brow der type fixed point theorems on generalized convex product spaces,and then two concepts:“of class Uθ”and“of class V”are introduced and existence problems of equilibrium point in an abstract economy are discussed.Ourmain results im prove and generalize the corresponding results in recent literatures.

generalized convex space,Γ-convex,maximal element,equilibrium point,of class Uθ,of class V 2000M SC:47H 05,47H 10

O189.1;O 177.91;

A

1008-5513(2009)02-0217-06

2007-07-05.

国家自然科学基金(10361005),延边大学科研项目(2004[8]).

朴勇杰(1962-),博士,教授,研究方向：非线性分析.