谈谈二次函数在高中阶段的应用

李 营

二次函数是高考的重点内容,可以说每年必考。但是学生对它的掌握程度普遍不高。在初中教材中,虽然对二次函数作了较详细的研究,但由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部分内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。

一、还需进一步理解函数的概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射f:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

问题1:已知f(x)=2x2+x+2,求f(x+1)。

这里不能把理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。

二、掌握二次函数的单调性,在区间上的最值与图象

在高中阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间上(-∞,-■][-■,+∞)的单调性的结论用定义进行严格的证明,使它建立在严密理论的基础上。与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

问题2:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。

(1)y=x2+2|x-1|-1

(2)y=|x2-1|

(3)y=x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。

问题3:设f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求:g(t)并画出y=g(t)的图象,并求 的最小值。

解:f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

当t>1时,g(t)=f(t)=t2-2t-1

当t<0时,g(t)=f(t+1)=t2-2

g(t)=t2-2,(t<0)-2,(0≤t≤1)t2-2t-1,(t>1)

再利用y=g(t)的函数图像可以求出 的最小值是-2。

三、学习二次函数的知识,可以锻炼学生的数学思维

问题4:设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0

(Ⅰ)当X∈(0,x1)时,证明X

(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0<■。

解题思路:本题要证明的是x

二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以设计出层出不穷、灵活多变的数学问题,用来考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

作者单位:河南省滑县第一高级中学