投影法在力学中的应用

商庆艳

摘要正交分解法是一种很好的解题方法,一切矢量的运算都可应用正交分解法。应用这种方法解题时,要建立二维的直角坐标系,每建立一个坐标系,一般要列两个方程,尤其是坐标方向的选择,很多题目使学生似乎已形成一种习惯,即习惯于以水平方向或沿斜面方向为x轴建立坐标系,致使有些题目的解法不够简捷。本文删繁就简,用投影法来解决这一类问题,可以收到事半功倍的效果。

关键词物理教学投影法正交分解法

中图分类号:G633.7文献标识码:A

在高中物理的教学要求中,“力的正交分解法”已不作为教学要求,但出于解题需要,教师们仍把正交分解法教给学生,并用此训练学生解题,正交分解法仍是处理习题的一种重要方法。

事实上,我们在教学中可采用一种不建立直角坐标系,而根据需要选择一至两个投影的方向,把力投影到该方向,用相应的规律列式解题,以这种方法(以下简称“投影法”)训练学生解题,收到了一定效果,下面结合例题,对“投影法”解题做一简要的介绍:

用“投影法”解题的主要步骤为:受力分析、运动分析、确定投影方向、根据牛顿第二定律列式求解。

例1 用绳AC和BC吊起一物体,如图示,物体重G=100N,两根绳子和竖直线的夹角分别为30昂?5埃求绳AC、BC对物体的拉力。

解析:物体在重力G,绳AC拉力F1,BC拉力F2作用下平衡,取与BC垂直而指向右下方的方向为投影正方向(图中x方向)

此时F1沿该方向的投影为—F1cos(45啊?0?

F2沿此方向无投影,G沿该方向投影为G·cos45?

由平衡条件得G·cos45啊狥1cos(45啊?0?=0

∴F1=G=G=73.2N

同理,取与AC垂直而指向左下方的方向为投影正方向,也可求出绳BC的拉力F2。

若用常规解法,需取水平和竖直方向为坐标轴,用正交分解法求解,需列两个方程,然后求解二元方程,既增加了列方程的工作量,又增加了解方程的工作量。

例2 如图示,质量为m的均匀球用线拉住,置于升降机内倾角为的光滑斜面上,线与斜面的夹角为,当升降机以加速度a竖直向上做匀加速直线运动时,线对球拉力T和斜面对球的支持力FN各为多少?

解:取沿斜面向上为投影正方向则

∴再取水平向右的方向,为投影正方向

则∴此题若取斜面和垂直斜面方向为x和y轴方向,用正交分解法则可得

不过对相当一部分学生来说,由于习惯沿斜面和垂直斜面建立直角坐标,对力进行分解,但他们却不懂还要对加速度的分解,导致错解。

此题若取水平和竖直方向为x和y轴方向,用正交分解法列出的方程是:

虽然学生极易列出方程,但解出T和N显然比较麻烦。

从此两例看出,用“投影法”解题,每列一个方程只需确定一个投影方向(同时把正方向也确定下来),不必建立二维的直角坐标系。且在很多情况下求一个未知量只需列一个方程,如果需要列两个方程,而选两个投影方向时,也可根据题意适当选择,使列、解方程的过程变得简单。

选择适当的投影方向是简化解题过程的关键,关于最佳投影方向的选择,应因题而异,在一般情况下,投影方向的选择,应使据此列出的方程中未知数的个数尽量少,因此,投影方向常选在与题中不要求求解或本步骤不拟求解的未知量(大小未知但方向已知)相垂直的方向上,这样往往可以简化解方程的过程。

例3 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线夹角,一个长的轻绳一端固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一质量为的小物体(物体可看作质点),物体以速率绕锥体的轴线做水平匀速圆周运动:

(1)当时,求绳对物体的拉力

(2)当时,求绳对物体的拉力

解析:当较小时,物体与锥体表面接触

当大于某一临界速率0时,物体离开锥面

当=0时,物体与锥面接触,但锥面对物体的支持力为零。以此时的物体为对象,取与锥面垂直的方向为投影方向,如图所示,则重力沿该方向的投影为,

向心加速度沿该方向的投影为

由牛顿第二定律得:

∴

①当时,物体受重力,绳的拉力T和锥体对物体的支持力FN,取绳的拉力方向为投影方向,则重力沿该方向的投影为,加速度沿该方向投影为sin

由牛顿第二定律:T- cos sin

∴若取水平和竖直方向为x、y轴方向,用正交分解法列出的方程是:

需求解方程组才能求得绳的拉力F,很显然,只要投影方向选择适当,会使求解过程比正交分解法简捷得多。

第二问、由于,物体与锥面脱离,绳与竖直方向的夹角未知,可分别取水平和竖直方向为投影方向,可列得方程为:

得T=2mg

从该题中可看出当所取的两个投影方向互相垂直时,投影法也就变成了正交分解法。

投影法,实际上也是坐标系中的一种,是我们研究问题的数学手段,“投影法”的指导思想主要是:依据实际的物理问题来选恰当的坐标,结合物理规律列方程求解,即简明又方便,教给学生,有助于提高学生灵活解题的能力。