挖掘习题价值，提高教学效率

罗清清

摘要：新课程改革已在省内全面展开，本文试通过对一道向量习题的展开，结合课本中的大量例题、习题，来简要阐述向量中的一些知识点之间的联系及一些有用结论的运用，借此来谈自己的一些粗浅的教学体会。

捷克教育家夸美纽斯在《大教学论》中写道：“课堂是有生命的物质空间，是学生充满生机的思维领域，学校的课堂教学，主要目的在于促进学生思维发展，提高学生的数学思维能力。”新的课程改革也要求教师能提升学生的思维，让学生远离题海，减轻学生的负担。为此，在教学实践中，我们有必要关注训练的习题，充分挖掘习题的价值，努力提高教学效率。下面我就对向量中的一道习题，谈一谈我个人的一点教学体验之愚见。

习题1：苏教版必修4，P70/练习3；原题如下：

已知：ΔABC中，D是BC的中点，用向量〢B,〢C表示向量〢D.

教学时发现，学生较易从“形”的角度，以〢B,〢C为邻边构成平行四边形，由平行四边形法则推知：〢D=12(〢B+〢C)；┆另外，联想加法的定义，由〢D=〢B+〣D;〢D=〢C+〤D;两等式左右相加，可得〢D=12(〢B+〢C)。

反思1：回味解答过程，积累解题经验

上述解答过程中，虽然从图形入手比较直观而且简洁，但第二种处理过程中，我们根据ABD和ACD两个三角形回路，依据向量加法构造两个回路等式，解决了问题，回路思想的运用，同样给我们的解题过程带来了清新的感觉，让我们感叹了数学之美！

反思2：图形发散变换，整合习题资源

将上述习题图形略经变换，可思考下列一系列的类似习题：┆

1）将三角形变为四边形，一边中点变为取两对边中点，即得课本P66/7：

在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证：〦F=12(〢B+〥C)

2）可思考取任意四边形ABCD四边的中点，构成什么图形？

3）取任意四边形ABCD两对角线的中点即得：课本P70/练习4：

设P，Q分别为四边形对角线AC和BD的中点，〣C=゛,〥A=゜,并且゛,゜不是共线向量，试用基底゛,゜表示向量㏄Q.

上述一连窜习题，串联成链，作为一个习题组进行练习，由于均可采用类似方法处理，在一定程度上有利于学生解题能力的提高。

反思3：特殊转为一般，拓展思维空间

习题1中，将中点D的特殊位置变为一般情形，即得课本P64/练习4：

已知：㎡A和㎡B是不共线向量，〢P=t〢B,(t∈R)，试用㎡A,㎡B表示㎡P.

运用加法回路的方法解答如下：

㎡P=㎡A+〢P=㎡A+t〢B=㎡A+t(㎡B-㎡A)

∴㎡P=(1-t)㎡A+t㎡B;（*）

课本P65/例4;P72/例4也都分别从式和坐标两方面叙述了这个问题,由这些习题稍加抽象,结合课本P75/探究拓展11,我们即可得到如下重要命题:

命题1：已知㎡A,㎡B不共线，P点在AB上，则有㎡P=λ㎡A+μ㎡B,且λ+μ=1；

（*）式从另一方面也可以这样理解：起点为O，终点为直线AB上一点C的向量㎡C可以用不共线向量㎡A,㎡B来表示，结合向量共线定理，我们不难得到平面向量基本定理，从该定理可知：

命题2：如果四个向量之间有等式゛+゜=ヽ+ヾ,并且゛,ヽ共线，゜,ヾ共线，但゛,゜不共线，立刻推得゛=ヽ,゜=ヾ

上述两个命题在我们解题时，若能灵活运用，有时可收到事半功倍的效果，使烦琐的解题过程得到优化，列举两例比较如下：

例1：设G是ΔOAB的重心，过G的直线与OA，OB分别相交于点P，Q，已知㎡P=h㎡A,㎡Q=k㎡B,试问：1h+1k的值是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.

解法1：常规设置未知数列方程求解

解：㏄Q=㎡Q-㎡P=k㎡B-h㎡A；

又㏄G=㎡G-㎡P=13(㎡A+㎡B)-h㎡A；

且P,G,Q三点共线，由共线定理得：

㏄Q=λ㏄G，∴k㎡B-h㎡A=λ13(㎡A+㎡B)-h㎡A；

即：(hλ-13-h)㎡A+(k-13λ)㎡B=0；

∵㎡A,㎡B不共线，∴hλ-13-h=0

k-13λ=0；∴1h+1k=3

解法2：利用命题1，优化解题过程

解：由㎡G=13(㎡A+㎡B)=13h㎡P+13k㎡Q；

又∵P,G,Q三点共线，∴13h+13k=1,即1h+1k=3，两种解法，繁简判然。

例2：课本习题P67/思考运用11：

平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于M，用向量方法证明：M是BD的一个三等分点。

解法1：运用共线定理，设未知数列方程求解

解：设〢B=゛,〢D=゜

〥M=〥E+〦M=12゛+λ〦A=12゛+λ(-゜-12゛)

=12(1-λ)゛-λ゜

又〥M=μ〥B=μ(゛-゜)；

∴12(1-λ)゛-λ゜=μ(゛-゜)；∵゛,゜不共线，∴12(1-λ)=μ

-λ=-μ；

解之得：λ=μ=13;∴M是BD的一个三等分点。

解法2：构建回路等式，巧妙解决问题

解：由〢B=〢M+㎝B;〥E=〥M+㎝E;

又〥E=12〢B,∴〥M+㎝E=12〢M+12㎝B；

〥M与㎝B共线,㎝E与〢M共线,〥M与㎝E不共线

∴〥M=12㎝B;㎝E=12〢M，即M是BD的一个三等分点。

通过上面一系列的思考，我们从一道习题可依次得出向量中一系列的知识、解题方法，如何做到真正意义上的学生减负，我认为关键在于课堂，必须要提高课堂的教学效率，有效综合各个知识点，寻找它们之间的联系，做到由一点牵一面，由一题思一片，这样学生就能避免盲目做题，摆脱题海，从而达到减轻学生负担，提升学生能力的目的。

参考文献：

［1］：普通高中课程标准实验教科书数学必修：江苏教育出版设，2007.6

［2］：张景中、彭翕成，论向量法解几何问题的基本思路.数学通报,2008.2

［3］：刘宏，浅谈教学后的反思.高中数学教与学,2005.11