一道传统例题的探究性学习

雍雅丽

我国的初中几何教科书中多年来一直有这样一道例题：

如图1，要在河边修建一个水泵站。分别向张村、李庄送水。修在河边什么地方，可使所用水管最短?传统的教学是教师告诉学生，作点A关于直线a的对称点A，连结AB交a于点C，点C就是所求的点，并根据轴对称图形的性质予以证明。这样的教学方法。学生一方面觉得答案来得太突然，同时也失去了一次通过观察、猜想、实验、探索、论证。从而提高学生解决问题的能力。发展创新精神的机会。荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，而应通过数学与现实的丰富联系，让学生经历数学化的过程。引导学生进行再创造学习数学。如果在教学中教师提出问题情境。让学生通过自主探索和合作交流的方式去寻找问题的解答，教师予以引导，则会产生出人意料的教学效果。

一、教学过程

1.改变提问方式。创设开放式的问题情境

教师首先提出问题，如图1，已知直线a和a同侧两点A、B，怎样找到直线a上的点C。使AC+BC最小?

2.自主探索，寻找解决问题的途径

启发学生自主探索，经过思考后，学生提出了许多富有创造性的解决问题的方法。以下是几种有代表性的方案：

方案1：拿一根足够长的绳子，一头固定在点A，让绳子经过点B，拉紧绳子使点C沿河边移动。当绳子在B点外余的部分最长时，就得到所求的点C。

方案2：沿河边立一面镜子，从A点发出一束直线光。当反射光线经过点B时，反射点就是所求的点。因为光线在运动中总是走最短路径。

方案3：沿河边立一面镜子。从B点出发，朝镜子中A点的影像走，直到河边。就得到所求的点C。

方案4：用几何画板作出直线a和点A、B，取直线a上任意一点C，度量AC+BC。让C点在直线a上移动，当AC+BC的度量值最小时，即可得所求的点C。

3.数学化

学生探索了一些解决问题的方案后，教师提出问题：镜子中A点的影像与A点是什么关系?如果不用绳子和镜子这些工具，用几何作图方法怎样解决问题?

学生受到前面方案(3)(4)的启发，通过讨论作出点A关于直线a的对称点A¹(即点A在镜子中的像)。连结A／B与直线a交于点C。即为所求的解。

4.反思

得出上述解法后，教师又提出以下问题供学生思考：

(1)你能证明上面的解法得到的点C使AC+BC最小吗?

(2)如果河岸不是直线，而是曲线，怎样解决问题?

(3)将水管路线设计为图2，能否使所用水管的和更短?

二、从本节课教学得到的启发

数学课堂教学是培养学生创新精神和创新能力的主阵地，但怎样通过日常教学培养学生的创新意识和创新能力、解决问题的能力是值得每个数学教师探讨的一个重要课题。从上面的教学过程可得出对培养学生创造性的几点启示：

1.相信学生具有创造力

陶行知先生曾说过：“处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人。”教师首先应具备“创造力是人人都具有的”这种观念，及时发现学生偶尔闪现出的创造性思想火花，加以激励，使其不断发扬光大，使学生不断突破和超越自我，树立起创造的信心和勇气。

2.给学生提供进行创造性实践的机会

弗赖登塔尔说过：“学一个活动的最好方法是做。”推而广之，通过解决问题培养学生解决问题的能力，通过创造性的实践活动培养创新精神与创新能力是培养学生解决问题的能力、创新精神与创新能力的最好方法。传统的教学方法只许学生听老师讲，让学生接受现成的书本知识。剥夺了学生创造的机会，束缚了学生创造力的发挥，甚至压抑了学生的个性，扼杀了学生的创造性。所以必须改革传统的教学方法，解放学生的眼睛、头脑、双手、嘴，把创造的自由还给学生，给学生创造的时间和空间，让学生在创造性的实践活动中发展创造能力。

3.为学生创设平等、宽容、合作交流的课堂氛围

发明创造首先需要鼓励人们自由想象。无限制的自由联想会激发出人的思维灵感，突破定式思维的局限，得到具有创意的设想。而通过合作交流，学生相互启发、相互激励、相互诱导。组合或改进原有设想，从而获得更多、更有价值的创造性方案。这些都需要一个平等宽松的课堂氛围。学生在轻松愉快的气氛中、在教师的赞赏中体验到创造的快乐。享受到成功的乐趣，好奇心和探索的欲望将会越来越强。

创新精神、解决问题的能力的培养，是时代对数学教育提出的要求。靠听老师刻板的讲解，靠熟记课本现成的结论，靠大量的套题训练是练不出创造力的。太多的“紧箍咒”、太多的条条框框必然会束缚创造力的发展。要培养学生的创造能力、解决问题的能力。就必须突破传统的束缚，给学生更多动手的机会、更多思考的余地和更多发挥的空间，让学生在“做数学”和数学“再创造”活动中获得真正的发展。