小议添加辅助线

丘志华

(广东省翁源县铁龙学校512629）

在平面几何的解题中，我们常遇到有的命题必须添加辅助线才能把题目中的已知条件和结论联系起来，添加辅助线为解题创造了有利条件。在教学中如何教会学生恰当地添加辅助线？下面从五方面谈谈添加辅助线的方法。

1.化为能直接运用定理推论

所谓能直接运用定理、推论，前提是学生必须熟悉定理推论和定义等，通过添加辅助线，就能直接运用定理推论等解题。此法适合难度较小的题目。

例1，如图，已知P是△ABC内一点。求证：∠BPC>∠BAC

分析：可以利用推论“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，在连结AP并延长到D后得到：∠BPD>∠BAD，∠DPC>∠DAC……。

例2，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=7。求CD的取值范围。

分析：过D作DE∥AB,根据平行四边形性质定理，则AD＝BE=3，AB＝DE=5

∴CE=BC-BE=7-3=4

在△CDE中，5-4

在例2中运用了把梯形转化为一个平行四边形与一个三角形。

2.化分散为集中

所谓化分散为集中，就是通过添加辅助线将已知和未知中的有关几何元素相对集中到同一个或两个相关基本几何图形中去，使之产生联系。

例3，如图，已知，C为⊙O的直径AB上的一点，DT是⊙O的切线，D为切点，CE⊥DT于点E。

求证：AC•CB+CD2=CE•AB

分析：求证式有五条线段且此五条线段分散，从AC•CB联想相交弦定理，延长DC与⊙O相交于F，过O作直径DG，连结GF，则有AC•BC=CD•CF,求证式变为CD•CF+CD2=CE•ABCD•(CF+CD)=CE•ABCD•DF=CE•AB(至此把分散的五条线段变为集中的四条线段），事实上易证△DGF∽△DGFDGDF=CDCECD•DF=CE•AB

∴AC•CB+CD2=CE•AB

3.化不规则为规则

所谓化不规则为规则，就是通过添加辅助线将不规则的几何图形转化为规则的几何图形，使问题化难为易。

例4，如图所示为某型号飞机机翼形状，已知AB∥CD，根据图示计算AD、BC、CD的长度（精确到0.01m)

分析：分别过A、B向CD的延长线引垂线交于E、F，得Rt△ADE和Rt△BCF，可求出AD＝AE2+DE2=42+42=42≈5.66(m)由COS∠FBC=BFBC，得BC＝4COS300≈4.62(m)CD＝CE-DE=(CF+EF)-DE=BC•sin30+AB-AE=……≈1.11（m）

4.化整体为部分

所谓化整体为部分，就是通过添加辅助线把复杂的几何图形分解为几个简单的几何图形，使问题化繁为简。以前求不规则图形的面积曾经用过此法。

例5，如图，已知ABCD是圆的内接正方形，P是〢B上的任意一点。

求证：PD•PC=PA•PB+PA•PD+PB•PC

分析：首先观察图形，由已知条件易知：∠DPC=∠APD=∠CPB=12(14×3600)=450，∠APB=3×450=1350∴sin∠DPC=sin∠APB=sin∠APD=sin∠CPB，再仔细分析欲证的结论，实质是要证：S△PDC=：S△PAB+S△PAD+：S△PBC

既然这样，我们能否考虑把△PDC分解成几个三角形，这几个三角形的面积分别与△PAB、△PBC、△PAD相等？为此，我们过P点试作PE⊥DC 于E，交AB于F，连结FD、FC，这样便把△PDC分为四个小三角形，即△PDF、△PCF、△FDE、△FCE，由于底边AD=FE，高度AF＝DE，∴S△PAD＝S△FDE，同理：S△PBC＝S△FCE,S△PAF＝S△PDF，S△PBF＝S△PCF

由于：S△PDC＝S△PDF+S△PCF+S△FDE+S△FCE

变为：S△PDC＝S△PAF+S△PBF+S△PAD+S△PBC

即：S△PDC＝S△PAD+S△PBC

∴PD•PC=PA•PB+PA•PD+PB•PC

5.化为圆内知识

解平面几何，有时需添加辅助圆，化为与圆有关的知识来解。

例6，如图，在凸四边形ABCD中，已知∠BAC＝250，∠BCA=200，∠BDC＝500，∠BDA=400若对角线AC、BD相交于P，求∠CPD的度数。

分析：直接求角仍会遇到困难，我们仍通过作△ABC的外接圆来沟通角之间的关系。

作△ABC的外接圆，设BD的延长线交外接圆于点K，连结AK、CK，则有∠AKB＝∠ACB＝200，又∵∠ADB=400，由三角形外角定理，得∠DAK＝∠ADB-∠AKB=400-200=200=∠AKB，∴DA=DK

同理：∠DCK＝250＝∠DKC，∴DC=DK,因此DA=DC=DK，可得D点是△ABC外接圆圆心，得BK就是圆的直径∠BCK＝900，∠PCD=450,∴∠CPD=1800-500-450=850

总之添加辅助线的方法有多种，在图形中常通过辅助线添加平行线、矩形、特殊的三角形等；在梯形中转化为三角形、矩形和平行四边形等；在圆中常利用“直径所对的圆周角是直角”、连结过切点的半径或直径、利用切线与它们垂直的特点，有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角之间的联系。两圆相切时可作两圆的公切线、连心线等。添加辅助线就像“架设桥梁”，只有恰当地架设桥梁，才能顺利地到达知识的彼岸。

收稿日期：2009-04-08