无穷小分析初阶 第二版

John L. Bell University of Western Ontario，Canada

A Primer of Infinitesimal

Analysis

Second Edition

2008, 124pp.

Hardcover

ISBN 9780521887182

J.L.贝尔著

无穷小思想在微积分和数学分析的早期发展中起着重要作用，也是理解微积分的一个关键性概念。对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述，是现今数学领域的一个引人注意的课题。例如上世纪A.Robinson建立了“非标准分析”，被视为一个重要数学进展。本书作者应用一种直接、严格的公理化方法，提出“零平方”(或“幂零”)无穷小概念，建立了光滑无穷小分析框架，系统地给出微积分基本理论及在物理学中的主要应用，特别是将微分运算归结为简单的代数运算。本书初版后颇受好评，尤其是它在数学哲学和逻辑学方面的价值以及在教学上的意义得到肯定，第二版有一些增补，并改正了印刷错误。

全书除引论、附录和文献外，正文含8章。引论通过一些物理例子(如脉冲函数)分析了无穷小思想及其历史发展过程，给出“幂零”概念的背景。正文第1章给出光滑世界的基本特征和公理化描述，是全书论述的基本框架，其余各章给出传统微积分的基本结果和应用。其中第2~4章讲述单变量微分学以及几何、物理应用(如长度、面积、体积计算、压强、悬链线、横杆弯曲等)；第5章研究多变量微分学，包括偏导数、极值、热传导、流体力学基本方程、波方程等；第6章简明地论述了定积分、高阶无穷小及其应用；第7章是综合微分几何学的引论。最后一章给出光滑无穷小公理系统，并与“非标准分析”作了比较。附录给出光滑无穷小分析的模型结构。

本书可供大学数学教师、理工科高年级学生以及数学哲学和逻辑方面的研究人员参考。

朱尧辰，研究员

(中国科学院应用数学研究所)

Zhu Yaochen, Professor

(Institute of Applied Mathematics,CAS)