“圆与圆的位置关系”教学设计

崔亚娟

本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册第二十四章《圆》中“圆与圆的位置关系”.本节课是学生在已掌握了点与圆的位置关系、直线和圆的位置关系等知识的基础上,进一步研究平面上两圆的不同位置关系.本节课采取类比的方法进行教学,通过本节课的学习可以培养学生动眼、动手、动口等能力,同时也渗透了类比、数形结合的数学思想.圆与圆的组合图形具有一些特殊的位置关系和性质,因此在实际生活中有着广泛的应用,尤其在工业制造方面应用较多.

【教学目标】

1.结合图形辨认圆与圆5种位置关系,根据具体图形说出相应的位置关系名称,能类比直线与圆的位置关系,通过公共点个数来决定圆与圆的5种位置关系.了解两圆外切,内切与两圆圆心距d半径R和r的数量关系的联系.

2.经历探索两个圆之间位置关系的过程,训练学生的探索能力.通过平移实验直观的探索两个圆之间位置关系,发展学生的识图能力和动手能力操作.

3.通过探索圆与圆的位置关系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.经历探究图形的位置关系,丰富对现实空间及图形的认识,发展形象思维.

【教学重点】

通过探索圆与圆的位置关系了解两圆外切,内切与两圆圆心距d,半径R和r的数量关系的联系.

【教学难点】

探索两个圆之间的位置关系 ,以及外切,内切与两圆圆心距d,半径R和r的数量关系的过程.

【教学方法】

实验探索,指导学生观察、实验、探究、归纳.

【教具准备】

多媒体课件、学生用表格、圆规,铅笔,尺子,两个半径不一样的圆形纸片.

【教学设计】

一、激情导入,动情入境

师:首先让我们一起来观看一组动画,注意观察,看你都发现了什么.

1.大屏幕展示FLASH动画,演示水滴下落的情境.

(通过动画演示水滴落入水中的情境,展示给学生一个生动、形象的圆与圆位置关系的实际场景.导入新课寓趣味于其中,既体现了数学源于生活,又能激发学生的兴趣,唤起他们的好奇心与求知欲.本环节的设计是通过生活中比较常见的水滴下落到水中形成的水波来创设情境,能够让学生在开课伊始就入情入境.)

2.提出问题.

师:回忆刚才的动画演示,猜想一下,我们这节课要研究的主题是什么?

学生试着说出本节课所要研究的主题——圆与圆的位置关系.

师:生活中存在着很多圆与圆的位置关系的实例,你能根据你的生活经验找找看吗?

学生思考、回忆、寻找,并试着谈出自己找到的有关圆与圆位置关系的实物.

(通过寻找生活中的圆与圆位置关系的实物,再次加深对本节课所要研究内容的印象.)

师:今天老师也给大家带来了一些图片,让我们来一起欣赏一下吧!

大屏幕展示教师带给学生的图片.总结图片中圆与圆位置关系在生活中的重要性.

(通过展示图片,可以发现圆与圆的位置关系在我们的生活中起到一定的装点作用,同时也有它的实用价值.本环节旨在让数学贴近生活,既强化学习目标又激发学生的学习兴趣,使学生的学习活动有鲜明的目的性.通过学生自己去找寻生活中圆与圆的位置关系来增强其对本节课学习内容的认识.并且学生能感悟数学来源于生活的客观真理.)

二、实验探究

1.动手操作.

师:请同学们拿出课前准备好的两个半径不相等的圆,放在桌面上,固定其中一个圆不动,在桌面上移动另一个圆,观察两圆的位置关系和公共点的个数.

大屏幕展示自学探究内容:

(1)观察两圆的位置关系和公共点的个数.

(2)根据你的操作,类比直线与圆的位置关系,你能给他们分别命名吗?

(3)在几种圆的位置关系中,你都能得到哪些结论,看哪一个组找得多.

2.自学探究.

学生实验,教师巡视学生的探究过程,并给予相应的指导和帮助.

3.小组汇报.

师:哪个小组愿意勇敢地到前面来汇报一下自己组的探究结果?

类比前两节研究点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,学生能够很容易对圆与圆的位置关系探究思路理解,并进行操作.通过学生的亲自动手操作加强学生对两圆5种位置关系的认可.初步感知两圆的5种位置关系的客观事实.

(本环节设计意图是:主要培养学生的类比思想,观察分析发现的能力.通过合作交流、自主评价,改进学生的学习方式及学习质量,激发学生的兴趣,唤起他们的好奇心与求知欲,点燃学生智慧的火花,使学生积极思维,勇于探索,主动地去获取知识.)

通过自己的亲身体验总结一下圆一圆的位置关系.具体一点,还能不能再细分一下?(预计学生会总结出两圆的位置关系有:相离、相交、相切3种)从而得到两圆的5种位置关系:外离、内含、相交、外切、内切.

师:若两圆的半径相等,那么这样的两圆是否也存在上面的5种位置关系呢?

学生在对相交这种位置关系产生质疑时,教师可给予提示、引导、帮助、总结.让学生在猜想与探究的过程中,体验成功的快乐,培养他们主动参与、合作的意识,勇于创新和实践的科学精神.

三、总结判定两圆的位置关系的方法

师:思考一下,如何判定两个圆的位置关系呢?

教师利用课件展示两圆位置关系与两圆圆心距和两圆半径的大小关系.

圆与圆的位置关系从图形到概念再到交点个数和d与R与r的数量关系总结.

判定两圆的位置关系的方法:

1.两圆公共点的个数.

2.根据圆心距和两圆半径的大小关系.

师:两个圆的位置关系会有第6种情况吗?两个圆的公共点会有3个吗?为什么?

练习:

1.看谁答得快:

两圆有两个交点,则两圆的位置关系是 ,两圆没有交点,则两圆的位置关系是 ,两圆只有一个交点,则两圆的位置关系是 .

2.当两圆外切,O₁O₂= 10,r₁=4时,r₂= ;当两圆内切,O₁O₂=2,r₁=5时,r₂= .

3.定圆O的半径是4厘米,动圆P的半径是1厘米.(1)设⊙P和⊙O相外切,那么点P与点O的距离是多少?点P可以在什么样的线上移动?(2)设⊙P和⊙O相内切,情况怎样?

四、相切两圆性质的探究

我们知道,圆是轴对称图形. 两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?如果是轴对称图形,那么它的对称轴是什么?

1.在纸上选取外切、内切两个图形,分别连接两个圆的圆心所在的直线.

2.沿着圆心所在的直线对折一下,你发现了什么? 从中得出了什么结论?

3.它的对称轴是什么?

4.除了圆心外,有没有特殊点在两圆的连心上?你能说出理由吗?

学生自行探究,教师深入指导.最后教师利用多媒体课件形象的演示两圆相切的对称性.

结论1:两个相切圆组成轴对称图形,对称轴是两圆连心线.

2:当两圆相切时,切点一定在两圆连心线上.

(在经历“观察——猜测——探索——验证——运用”的过程,渗透了从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化,培养了学生的转化、思维能力.实现了感性到理性的升华,凸现数学学习的本质,“数形结合”等数学思想.本环节设计意图是:让学生进一步理解性质与判定,培养学生数形结合的思想,通过定理的形象记法减轻学生的学习负担.另外,通过对例题改造,培养学生的运用意识,提高解决实际问题的能力.)

五、例题精析

例1:如下图,⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm,求:(1)以P为圆心,作⊙P与⊙O外切,小圆P的半径是多少?(2)以P为圆心,作⊙P与⊙O内切,大圆P的半径是多少?

(教师引导学生自行分析,并板演解题过程.)

例2:两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如下图所示(点O₁、O₂是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线(线段PQ称为两圆的公共弦),TP,NP分别为两圆的切线.

(1)上图中两圆的位置关是;

(2)求∠TPN的度数?你是怎么想的?可以独立完成吗?

(3)O₁O₂与PQ有什么位置关系?一般情况下的两圆相交,(如下图)O₁O₂与AB又有什么位置关系?你发现了什么结论?

(解决生活实例问题,创设了生活情境,提供了探索的平台,为学生创新能力的培养奠定了良好的基础.)

结论:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.

例3:两个圆的半径的比为2∶3 ,内切时圆心距等于 8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是多少?

(通过开放性习题解决部分学生“吃不饱”的问题.让每个学生都得到最大的发展.)

六、引导小结

本节课你学到了哪些知识?你运用了怎样的方法来获得这些知识?

出示本节课的收获对本节课的内容进行知识上的梳理.展示两圆5种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系表格.

(小结环节的设计,目的是让学生在学完这节课之后,对这节课进行一下反思,从而养成反思归纳的好习惯.)

七、教师寄语

两圆位置有5种,

内外相交切含离.

切点必在连心线,

性质判定合一体.

圆的相切、相交的位置情况中,弦心距、半径、弦常会构成直角三角形,因此有关两圆的问题,往往可化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决,对这种“转化”的思想,同学们要高度重视才行呀!

(教师寄语,是通过口诀的形式,将本节课的知识点概括出来,便于学生记忆.)

【教学反思】

“数学课程标准”指出了自主探究、动手实践、合作交流的学习方式.为了落实课程标准,在课堂教学中充分发挥学生主观能动性,我采用动态教学法,用自己的情感去感染学生,以情感人,以情动人,以情育人,真正打动学生,热情洋溢,以达到提高教学质量的目的.课堂教学中,我努力让学生以认真的态度在轻松气氛中学习知识,掌握知识,这是一种享受.从而使学生乐于学习,变被动为主动.

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编辑/张烨