一种基于Ｋ邻域平均法的小波图像恢复算法

赵晨萍　郭运瑞　李登峰　宋锦萍

摘 要：小波图像压缩及图像消噪算法近年来得到了广泛的重视和发展，其处理的核心部分就是图像的边缘,各种算法都会产生图像边缘的锯齿状震荡，即Gibbs现象。针对小波图像压缩中的振荡现象，首先应用Kirsch算子检测图像边缘，然后利用区域内像素灰度的相关性及小波系数的相关性，提出一种基于小波变换的K邻域平均法，最后通过仿真及信噪比的比较说明了此算法的有效性和可行性。

关键词：小波变换；Gibbs现象；Kirsch算子； K邻域平均法

中图分类号：TP391文献标识码：B

文章编号：1004 373X(2009)02 148 03

Algorithm of Wavelet Image Recovery Based on K Neighborhood Average Method

ZHAO Chenping1 ,GUO Yunrui1,LI Dengfeng2,3,SONG Jinping2,3

(1.Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang,453003,China;

2.Institute of Applied Mathematics,Henan University,Kaifeng,475001,China;

3.College of Mathematics and Information Science,Henan University,Kaifeng,475001,China)

Abstract：The algorithms of image compression and image denoising using wavelet have been widely concerned and studied.How to keep the image edges is the important problem in all the algorithms.However,the Gibbs phenomenon can be produced along with all kinds of image procession.In order to eliminate the oscillations and improve the reconstruction image quality,the article firstly detects edge of the image byusing Kirsch operators,then presents the K neighborhood average algorithm－based according to dependence of the image pixels and the wavelet coefficients,and finally shows the feasible and efficient performance by simulation experiments and signal－to－noise ratio.

Keywords：wavelet transform;Gibbs phenomenon;Kirsch operator;K neighborhood average method

基金项目:国家自然科学委员会与中国工程物理研究院联合基金资助项目（10576013）；河南省自然科学基金资助项目（0611053200）；河南省教育厅基础研究资助项目（2006110003）；河南科技学院校选项目基金资助项目(0655)

0 引 言

小波变换是近些年来发展起来的一种非常有效的数学工具。它在许多领域都得到了广泛应用，如图像分割、图像压缩、图像去噪、图像恢复和指纹识别等。尤其是在图像压缩中，利用小波变换对图像的光滑部分进行线性逼近时具有很高的精度。尽管如此，但这样处理还不尽如意，例如在对图像的边缘以及具有奇异点的部分进行逼近时，往往出现常见的Gibbs，即奇异点附近的点会出现振荡现象，从而掩盖了原有图像的奇异特征，使得线性逼近的精确度大大降低。为了解决图像压缩中出现的边缘振荡问题（Gibbs现象），设计一种K邻域平均算法［1］，利用K邻域平均法对奇异点的系数进行修正，从而消除了振荡，改善了逼近图像的质量。在此分别用二值图像和灰度图像进行仿真验证。实验表明，这里提供的算法能够有效的恢复图像压缩中的振荡失真现象，具有充分的可行性和推广价值。

1 小波变换［2］

图1给出一幅二值图像经过Haar小波分解并利用低频线性逼近的图像。从图1中可以看出在图像的灰度边缘部分，有比较明显的振荡现象。小波Eno［3－7］方法是一种有效的去除Gibbs现象的插值方法，但是随着小波分解层数的增加，效果不够理想。

图1 原始二值图像和Db1小波线性逼近图像

设φ(x)和ψ(x)分别是小波的尺度函数和小波函数，小波的有限支撑长度为［0,l］（l∈Z）。关于φ(x)和ψ(x)，下列相应的双尺度方程成立：

φ(x)=2∑ls=0c璼φ(2x－s)

ψ(x)=2∑ls=0h璼φ(2x－s)（1）

其中：{c璼}l璼=0和{h璼}l璼=0分别称为低通滤波器系数和高通滤波器系数。

记φ(x)和ψ(x)的伸缩平移函数如下：

φ璲,k(x)=2j/2φ(2jx－k)

ψ璲,k(x)=2j/2ψ(2jx－k)(2)

则对L2(R)空间有如下多分辨分析分解：

L2(R)=V璊⊕∑∞j=JW璲（3）

其中：V璲=span{φ璲,k(x),k∈Z},W璲=span{ψ璲,k(x),k∈Z}，且满足V璲+1=V璲⊕W璲。

对任意能量有限信号f(x)∈L2(R)，其在子空间V璲上的投影为：

f璲(x)=∑kα璲,kφ璲,k(x)

α璲,k=∫f(x)φ璲,k(x)dx（4）

上式称为f(x)在第j层的尺度系数。类似地，f(x)在子空间W璲上的投影为：

w璲(x)=∑kβ璲,kψ璲,k(x)

β璲,k=∫f(x)ψ璲,k(x)dx（5）

式（5）称为f(x)在第j层的小波系数。由以上分析，一个信号f(x)可以做如下分解：

f(x)=f璲(x)+∑∞i=jw璲(x)（6）

其中f璲(x)称为f(x)关于子空间V璲的线性逼近。

为了计算各个尺度上的尺度系数α璲,k和小波系数β璲,k，有如下快速小波算法，即Mallat算法：

α璲,i=∑ls=0c璼α璲+1,2i+s，

β璲,i=∑ls=0h璼α璲+1,2i+s（7）

综上，对连续函数的情形给出了尺度系数、小波系数的计算公式，以及线性逼近的定义。在现实中，遇到更多的是离散情形。在离散情形下，函数f(x)被看作在某一尺度上的平滑系数，即尺度系数。定义如下2个矩阵：

L=c0c1c2c3……c璴－1

c0c1c2c3……c璴－1

… … … …

c0c1c2c3……c璴－1，

H=h0h1h2h3……h璴－1

h0h1h2h3……h璴－1

… … … …

h0h1h2h3……h璴－1 (8)

及向量α璲=(…,α璲,k,α璲,k+2,…)T和β璲=(…,β璲,k,β璲,k+2,…)T。则离散型的Mallat算法，即式(7)可改写为：

α璲=Lα璲+1，

β璲=Hα璲+1（9）

相应逆小波变换也可利用矩阵形式表示为:

α璲+1=L*α璲+H肠陋璲(10)

2 K邻域平均算法

2.1 小波线性逼近

记原始图像为X。用小波变换对X进行n层分解，得到一系列的子图像。用第n层的低频部分线性重构，得到原始图像的逼近图像Y。如图1所示，逼近图像Y在灰度的边界地带出现振荡，使得压缩图像质量降低。

2.2 间断点判断

在此采用Kirsch(3×3)八方向算子［8］对二维图像进行边缘检测。Kirsch算子是利用一组模板分别计算在不同方向上的差分值，取其中最大的值作为边缘强度，而将与之对应的方向作为间断方向。Kirsch(3×3)算子模板如图2所示。

记模板为W璳(k=1,2,…,8)，则(x,y)处的边缘强度为：

E(x,y)=maxk{W璳·X}

其中：·表示点乘运算；k=1,2,…,8。即首先计算每个模板与对应像素点灰度卷积，然后取8个值中的最大值作为该点的梯度值，进而得到原图像的梯度图像。

取定阈值，判断出对应图像的边缘点即间断点，在图像压缩或去噪中正是这些边界点的灰度失真。

2.3 K邻域平均算法

该算法主要考虑在n×n的窗口内，属于同一集合的像素，它们的灰度将高度相关。因此，窗口中心像素的灰度值可用窗口内与中心像素灰度最接近的K像素的平均灰度来代替。较小的K值使噪声方差下降少，但保持细节好；而较大的K值平滑噪声较好，但会使图像边缘模糊。

对第3.2节中的间断点，利用小波系数的相关性，在小波域对系数利用K邻域系数修正，然后重构即得。

图2 Kirsch算子模板

3 算法仿真及分析

这里在两层线性逼近基础上，分别对线性逼近图像采用了经典小波Eno方法和K邻域平均法修正小波系数，其中仿真实验中与Kirsch算子模板一致，采用的是3×3模板，取K值为6。图4结果表明，K邻域平均法能够有效地消除图像灰度边缘的锯齿状振荡，对消除Gibbs现象非常有效，并且视觉上比Eno方法更优。

图3 压缩图像经不同修正方法后的逼近图像

这里采用信噪比(SNR)作为衡量标准比较该文算法与经典Eno小波插值方法的去振荡效果:

SNR=10log10‖f‖22‖f－g‖22〗

其中f为真实图像，即原始图像；g为带噪图像，即逼近图像。数值结果如表1所示。

表1 不同的逼近图像的信噪比(dBi)（两层分解）

算法一维Eno插值K邻域平均修正算法

信噪比33.135433.781 1

表1数值结果表明，该文的K邻域平均法，有更高的信噪比。这充分说明了相比经典Eno小波插值方法，经过K邻域平均法处理的图像与原始图像相似度更高。

4 结 语

对小波压缩及消噪图像的边缘保持问题是一个研究热点，基于这个问题，设计了基于K邻域平均法并通过仿真实验验证该算法，另外与经典Eno小波方法比较，应用信噪比的比较说明该算法的优越性。

参考文献

［1］贾永红.数字图像处理［M］.武汉:武汉大学出版社，2003.

［2］程正兴.小波分析算法与应用［M］.西安：西安交通大学出版社,2001.

［3］Zhou H M,Wavelet Transforms and PDE Techniques in Image Compression.USA:University of California,2000.

［4］James S Walker,Ying－Jui Chen.Image Denoising Tree－based Wavelet Subband Correlations and Shrinkage.Optical Engineering,2000,39(11):2 900－2 908.

［5］Chan F H,Zhou H M.Adaptive ENO－Wavelet Transforms for Discontinuous Functions.CAM Report,Dept.of Math;UCLA,Preprint.1999.

［6］宋锦萍,杨晓艺,侯玉华.基于微分算子的Eno－haar小波变换及其应用［J］.电子与信息学报，2004，26（6）：940－944.

［7］Chang S G,Yu B,Martin V.Adaptive Wavelet Thresholding for Image Denoising and Compression.IEEE Transactions on Image Processing,2000,9(9):1 532－1 546.

［8］章毓晋.图像分割［M］.北京:科学出版社，2001.

［9］杨福生.小波变换的工程分析与应用［M］.北京：科学出版社,1999.

［10］王晓丹，吴崇明.基于Matlab的系统分析与设计图像处理［M］.西安：西安电子科技大学出版社,2001.

作者简介 赵晨萍 女，1980年出生，河南滑县人，硕士，助教。主要从事小波分析及图像处理研究。