中频振动杂交分析方法中边界条件对等效阻抗的影响研究

夏智彬 黎 胜

1大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁 大连116024 2大连理工大学 船舶工程学院，辽宁 大连116024

中频振动杂交分析方法中边界条件对等效阻抗的影响研究

夏智彬1，2黎 胜1，2

1大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁 大连116024 2大连理工大学 船舶工程学院，辽宁 大连116024

对复杂结构系统的振动响应分析，一般根据所考虑的频率范围将分析频段分为低频段、中频段和高频段，并针对不同频段采取不同的分析方法。阐述了中频振动分析问题，讨论了中频问题的杂交方法建模和求解，并以加框板为例研究了不同边界条件对等效阻抗的影响。计算结果表明，边界条件对等效阻抗的影响不大。此外，比较了加密有限元网格、稀疏有限元网格和基于等效阻抗使用有限元／统计能量分析杂交方法得到的计算结果，并得出了相应的结论。

振动响应；结构振动；中频；等效阻抗；统计能量分析；有限元法；杂交方法

1 引言

对复杂结构系统的振动响应分析，必须根据所考虑的频率范围来采取不同的分析方法。在低频段，有限元方法得到了广泛的应用。在高频段，目前统计能量分析方法（模态方法）和能量有限元方法（波动方法）等基于统计平均观点的能量方法取得了成功的应用。由于建模方法的不同，对船舶等复杂实际结构的振动分析在低频和高频之间的中频段就会遇到困难，此时，复杂结构中的板（弯曲振动）等柔性构件适合于用统计能量分析建模，框架等刚性构件则适合于用有限元法建模，而单独使用有限元法或统计能量分析方法都有困难，这就引出了中频振动分析问题。

对中频问题的研究，奠基性的工作是1999年由LANGLEY和BREMNER［1］提出的基于有限元法和统计能量分析的杂交方法：其方法是将复杂结构分为全局构件（刚性构件）和局部构件（柔性构件），然后基于模态分析方法求得局部构件对全局构件的等效阻尼和质量（或刚度）加到全局构件上，再采用有限元法对全局构件进行求解，从求解得到的全局构件和局部构件连接处的速度和局部构件对全局构件的附加阻尼可得到全局构件输入局部构件的功率，最后采用统计能量分析方法对局部构件进行分析从而完成对整个复杂结构的求解。他们的方法奠定了中频分析方法的基础，其后的方法基本上都是基于他们的杂交方法思想。目前比较有代表性的中频研究工作主要有：1）LANGLEY和SHORTER［2，3］将复杂结构振动响应划分为直接场响应（刚性构件响应）和混响场响应（柔性构件响应）。基于混响场互易关系得到连接处混响场对直接场的阻抗作用，然后对直接场响应进行求解，再对混响场响应进行求解。他们的方法实质上是在假设柔性构件响应为混响场响应的基础上用波动分析方法替代了原来的模态分析方法来求解局部构件的等效阻抗。2）VLAHOPOU鄄LOS等［4］提出的将复杂结构构件根据波长划分为短构件（刚性构件或全局构件）和长构件（柔性构件或局部构件）并分别采用有限元法和能量有限元法建模，长短构件的耦合通过杂交连接公式来描述，即推导出短构件中的位移变量和长构件中能量密度的关系式；VLAHOPOULOS等［5］还基于模态综合法利用静力模态采用解析方法来确定梁板焊接点的等效阻抗特性，VLAHOPOULOS和黎胜等［6］将该方法用于实际汽车结构的中频振动噪声分析预报，数值结果和实验结果的比较表明该方法具有较高的精度。3）MACE等［7］基于自由界面主模态采用子结构模态综合法来求得柔性构件对刚性构件各阶模态的等效模态阻尼和模态质量（刚度）。4）由SOIZE等［8］提出模糊结构理论不能视为上述的中频方法，其是为解决复杂结构中部分构件（模糊结构或从属结构或随机结构）难以精确描述或无法精确描述的问题而提出的，其将复杂结构划分为主结构和模糊结构，模糊结构对主结构的作用通过随机边界阻抗来体现，在确定随机边界阻抗后对主结构采用确定性方法如有限元方法来求解。该方法可得到考虑模糊结构影响的主结构振动响应（均值）及由模糊结构引起的响应变异（方差）。该方法在复杂结构的模糊结构构造，即确定模糊结构参数和界面阻抗时有困难。

目前中频工作的不同点主要在于求解柔性构件对刚性构件的等效阻抗时采用的方法不同，中频问题的关键就在于怎样合理高效地求得柔性构件对刚性构件的边界等效阻抗作用，因为其通过附加阻尼和质量（刚度）决定了刚性构件响应的求解准确性和通过输入功率决定了柔性构件响应的求解准确性。

为考察刚性构件和柔性构件的连接方式对等效阻抗的影响，本文基于点阻抗的定义式采用加密有限元网格来计算柔性构件与刚性构件连接点的等效阻抗，研究了不同边界条件对等效阻抗的影响。文中最后还比较了加密有限元网格计算结果和基于等效阻抗使用有限元／统计能量分析杂交方法得到的计算结果。

2 计算方法

中频振动分析中首先要基于结构特征波长或模态密度在计算频带内来划分刚性构件和柔性构件。有关结构特征波长计算和模态密度计算可参看有关专著［9，10］。对刚性构件，在简谐激励力作用下，考虑柔性构件等效阻抗作用的有限元形式的运动方程为:

式中，ω为激励圆频率；i＝（－1）1／2；［M］、［C］和［K］分别为刚性构件的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；｛x｝为刚性构件位移向量；｛F｝为外激励力向量；［Mf］、［Cf］和［Kf］分别为柔性构件的附加质量矩阵、附加阻尼矩阵和附加刚度矩阵。值得指出的是柔性构件的附加质量、附加阻尼和附加刚度只与柔性构件和刚性构件边界连接处的自由度有关，故其又可通过标量质量单元、标量阻尼单元和标量弹簧单元直接定义在这些边界有限元节点上。为考察边界条件对柔性构件的附加质量、附加阻尼和附加刚度大小的影响，本文通过点阻抗的定义式来进行柔性构件附加质量、附加阻尼和附加刚度的计算。即对柔性构件单独进行有限元建模，将柔性构件上与刚性构件连接处的所有节点进行约束，当计算某连接点的附件质量、附加阻尼和附加刚度时，放松该连接点，计算单位激励力作用下该点的速度v即可得到到该点的等效阻抗为：

Z的实部Re（Z）＝cf，即为附加阻尼，虚部Im（Z）＝ωmf－kf／ω，即为附加质量（刚度）。计算时可单独用附加质量或附加刚度来表示。

在得到所有连接点处的附加阻尼和附加质量（刚度）后，通过标量阻尼单元和标量质量（弹簧）单元加在相应的刚性构件有限元节点上，首先对刚性构件进行有限元求解。在得到刚性构件的响应后，由刚性构件与柔性构件连接点处的速度响应和相应的附加阻尼即可得到输入柔性构件的功率∏为：

式中，n为刚性构件与柔性构件连接点的数目；cfi和vi为连接点i处相应的附加阻尼和速度响应。得到柔性构件的输入功率∏后，柔性构件的响应即采用统计能量分析或能量有限元法进行求解。如柔性构件的均方速度响应为

式中，η和m分别为柔性构件的损耗因子和质量。

3 中频振动问题实例和边界条件对等效阻抗的影响分析

计算模型为图1所示的加框板结构，板长和板宽为1.63 m和1.09 m，板厚为0.8 mm，框由空心矩形管组成，框的截面面积为1.129 1×10－3m2，截面惯性距为5.744 7×10－6m4。结构材料的密度为7 850 kg／m3，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.3，结构阻尼为0.02。加框板边界无约束，板和框通过点焊连接，连接点如图1和图2中“○”所示。图中所示的分别为计算中对柔性板采用的稀疏网格和加密网格。板和框的离散都采用NASTRAN的CQUAD4单元。由于板和框只在焊点处连接，所以板的加密有限元网格与框的有限元网格没有不协调问题。激励力作用在框架上，作用位置如图1所示。由板和框的特征波长或是模态密度在计算频带内可以将该结构中的板视为柔性构件，框架视为刚性构件。计算中采用线性元进行计算，按一个波长需要划分6个单元的要求，对板的弯曲振动，由板的弯曲波波长计算公式可以确定板的加密网格可以计算的上限频率为1 171 Hz，稀疏网格可以计算的上限频率为47 Hz，所以在计算频带内可将加密网格的计算结果作为准确解来进行比较。

图1 加框板有限元网格（稀疏网格）

图2 加框板有限元网格（加密网格）

分别采用加密网格和稀疏网格计算板在100～700 Hz间的垂向均方速度响应。从图3可见，随着激励频率的升高，特别是在200 Hz以后，稀疏网格的计算结果已远小于加密网格的计算结果。

图3 采用加密和稀疏网格计算板均方速度响应结果

如前述，柔性构件对刚性构件的等效阻抗是中频分析的一个关键问题，下面对等效阻抗特性进行计算分析研究。柔性构件对与刚性构件连接点的等效阻抗可用点阻抗的的定义式来计算，即放松该连接点，计算单位激励力作用下该点的速度来得到该点的等效阻抗。为考查板与框连接处边界条件对等效阻抗的影响，将图1中的板采用焊点简支、焊点固支、边界节点全部简支、边界节点全部固支等4种边界条件基于加密有限元网格来计算单位激励力作用下长边中点处的速度响应得到的等效阻抗如图4和图5所示。

从图4和图5中可以看到，附加阻尼作用随着激励频率的升高越来越大，而附加质量部分影响则越来越小并趋近于0，4种不同边界条件下所得到的附加阻尼和附加质量的大小基本一致，可见边界条件对等效阻抗的影响并不大。分析其原因在于柔性板主要是通过其弯曲振动来吸收刚性构件输入的能量，而此时边界条件对其能量吸收能力的影响是有限的，这可由适用于高频分析的统计能量分析理论来解释，其表征板弯曲振动能量吸收能力大小的模态密度是与板边界条件无关的。如所知，统计能量分析中采用无限大板或半无限大板激励点输入阻抗的解析解来简化统计能量分析模型中有关参数的计算。图4中也给出了由计算半无限大板的激励点阻抗得到的附加阻尼，可见在高频时边界连接点的阻抗将趋近于半无限大板的激励点阻抗。

图4 板的等效阻抗中的附加阻尼

图5 板的等效阻抗中的附加质量

在得到了柔性构件对刚性构件的边界连接点等效阻抗后，就可以使用杂交方法进行计算，即可将等效阻抗作为附加阻尼和附加质量加到刚性构件的有限元模型上对刚性构件进行求解，再从求解得到的速度由附加阻尼可得到输入柔性构件的功率并完成对柔性构件的求解。本文中的计算采用NASTRAN来完成，附加阻尼和附加质量采用CDAMP1和CMASS1来模拟。

图6、图7和图8分别给出了使用杂交方法得到的刚性框上A点、B点的速度响应和柔性板的均方速度响应与加密有限元网格所得到结果的比较。杂交方法计算中使用的有限元网格为图1所示的稀疏网格，使用的附加阻尼和附加质量是由焊点简支边界条件下得到的等效阻抗。值得指出的是，等效阻抗只是代表了板的弯曲振动特性，由于板的压缩波波长和剪切波波长与弯曲波波长相比较长，所以板的面内振动和剪切振动特性可仍然由使用的有限元稀疏网格直接计入 （即板的面内振动和剪切振动特性的有限元模拟满足一个波长需要划分6个单元的要求）。

图6 A点速度响应值的比较

图7 B点速度响应值的比较

图8 柔性板的均方速度比较

从图6、图7和图8可以看到，在考虑柔性板的等效阻抗作用后，使用稀疏网格的杂交方法得到了较准确的结果。

4 结论

本文对中频振动分析问题进行了阐述，对中频问题的杂交方法建模和求解进行了讨论，并以加框板为例基于点阻抗定义式研究了不同边界条件对等效阻抗的影响，计算结果表明边界条件对等效阻抗的影响不大。文中还比较了加密有限元网格、稀疏有限元网格和基于等效阻抗使用有限元／统计能量分析杂交方法得到的计算结果，计算结果表明：随着激励频率的升高，稀疏网格的计算结果已远小于加密网格的计算结果，但在考虑柔性板的等效阻抗作用后，使用稀疏网格的杂交方法能得到较准确结果。

［1］LANGLEY R S，BREMNER P.A hybrid method for the vibration analysis of complex structural－acoustic systems［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1999，105（3）：1657－1671.

［2］SHORTER P J，LANGLEY R S.On the reciprocity rela鄄tionship between direct field radiation and diffuse reverber鄄ant loading［J］.Journal of the Acoustical Society of Ameri鄄 ca，2005，117（1）：85－95.

［3］SHORTER P J，LANGLEY R S.Vibro－acoustic analysis of complex systems［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，288（3）：669－699.

［4］VLAHOPOULOS N，ZHAO X.An investigation of power flow in the mid－frequency range for systems of co－linear beams based on a hybrid finite element formulation［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，242（3）：445－473.

［5］HONG S B，WANG A，VLAHOPOULOS N.A hybrid finite element formulation for a beam－plate system［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，298（1/2）：233－256.

［6］Vlahopoulos Nickolas，Li Sheng，Viktorovitch Michel，Caprioli Davide.Validation of a hybrid finite element for鄄mulation for mid－frequency analysis of vehicle structures［C］//SAE 2007 Noise and Vibration conference and Exhi鄄bition，2007.

［7］JI L，MACE B R，PINNINGTON R J.A mode－based ap鄄proach for the mid－frequency vibration analysis of coupled long－and short－wavelength structures［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，289（1/2）：148－170.

［8］SOIZE C，BJAOUI K.Estimation of fuzzy structure param鄄eter for continuous junctions［J］.Journal of the Acoustical Society of America，2000，107（4）：2011－2020.

［9］FAHY F，GARDONIO P.Sound and structural vibration：radiation，transmission and response［M］.London：Academic Press，2007.

［10］LYON R H.Statistical energy analysis of dynamical sys鄄tems：theory and applications［M］.Cambridge：MIT Press，1975.

Effects of Boundary Conditions on Effective Impedance in Hybrid Methods for Mid－frequency Vibration Analysis

Xia Zhi－bin1，2Li Sheng1，2
1 State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment Dalian University of Technology，Dalian 116024，China 2 School of Naval Architecture，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China

The frequency spectrum，where simulation methods can be utilized for vibration analysis，can be divided into three regions：low，mid and high frequency.This paper concerned mid－frequency vibration problems and the hybrid methods were developed to solve such problems.A beam－plate system was involved as an example to show the mid－frequency problem and to study the influence of boundary conditions on the effective impedance of flexible members.The numerical results were obtained and compared with the dense mesh，coarse mesh and the hybrid methods.

vibration response；structural vibration；mid－frequency；effective impedance；Statistical Energy Analysis；Finite Element Method；hybrid method

TB532

A

1673－3185（2009）06－07－04

2009-05-18

辽宁省自然科学基金资助项目（20082170）；教育部留学回国人员科研启动基金资助项目

夏智彬（1981-），男，博士研究生。研究方向：船舶振动与声学。E鄄mail：xzb1981@126.com

黎 胜（1973-），男，副教授，博士生导师。研究方向：船舶与海洋结构物振动噪声机理、预报及控制。E鄄mail：shengli@dlut.edu.cn