筝形的一个性质及其应用

陈春雷

有不少几何图形及其结论实际上具有一般性，把这些性质进行拓展、推广、应用不仅可以激发学生主动探索的欲望，培养学生学习数学的兴趣，而且还可以提高学生类比联想的分析处理问题的能力。

让学生学会如何从数学角度运用所学的知识和方法去解决问题,在解决问题过程中运用多种思想方法,多角度,多方位地思考问题,并进行知识的再创造，从而完善和改进了认知结构,本文从一个简单图形的性质的探究品尝了这种解决问题的乐趣.

一.筝形的一个重要性质

命题:如图1,P是△ABC内一点，

求证：∠BPC=∠A+∠B+∠C.

二.命题的多种证法

证明:方法1.连结AP,并延长到E.如图2,

∵∠BPE=∠BAE+∠B，

∠CDE=∠CAE+∠C，

∴∠BPE+∠CDE=∠BAE+∠B+∠CAE+∠C，

∴∠BPC=∠BAC+∠B+∠C.

方法2.延长BP交AC于E，如图3,

∵∠BPC=∠1+∠C，∠1=∠A+∠B，

∴∠BPC=∠A+∠B+∠C.

方法3. 连结BC，如图4，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

即∠A+∠ABP+∠ACP+∠1+∠2=180°，

∴∠1+∠2=180°-（∠A+∠ABP+∠ACP）.

∴∠BPC=180°-(∠1+∠2)

= 180°-[180°-（∠A+∠ABP+∠ACP）]

=∠A+∠ABP+∠ACP.

方法4. 连结AP，如图5，

∵ ∠1=180°-（∠BAP+∠B），

∠2=180°-（∠CAP+∠C），

∴∠1+∠2=360°-（∠BAP+∠CAP+∠B+∠C）

=360°-（∠BAC+∠B+∠C）.

∴∠BPC= 360°- (∠1+∠2)= 360°-[360°-（∠BAC+∠B+∠C）] =∠BAC+∠B+∠C.

方法5.过P任作一直线交AB于点E,交AC于点F, 如图6，∵∠1=∠AEF-∠B,

∠2=∠AFE-∠C,

∴∠1+∠2=∠AEF+∠AFE-∠B-∠C.

∴∠BPC=180°-(∠1+∠2)

= 180°-(∠AEF+∠AFE)+∠B+∠C

=∠A+∠B+∠C.

方法6.过P作PE∥AC,交AB于点E,如图7，

∴∠1=∠A, ∠2=∠C.∵∠3=∠1+∠B,

∴∠3=∠A+∠B.∴∠BPC=∠3+∠2=∠A+∠B+∠C.

三、命题的拓展

1. 变点P的位置

① 若P在边AB上时,如图8,由外角的性质可知∠BPC=∠A+∠C,由于此时∠B=0°,故∠BPC=∠A+∠B+∠C，仍然成立.可见此情形是命题特殊情形.

② 若P在BC边上时,如图9,此时

∠BPC=180°, ∠A+∠B+∠C=180°

故∠BPC=∠A+∠B+∠C，仍然成立.可见此情形也是命题特殊情形.

2. 变∠A的大小

①∠A的两边,拉开成平行线,如图10, 由平行

线的性质，可知∠BPC=∠B+∠C，此时可以认

为∠A=0°，从而∠BPC=∠A+∠B+∠C，仍然

成立. 可见此情形也是命题特殊情形.

②∠A的两边进一步拉开,如图11,

此时∠BPC=∠ABC+∠A′CB-∠α,

若把∠α看作一个负的∠A,则也可以认为原结论成立.

3.变∠P的个数

①把上述问题中的∠P变成两个角∠P1和∠P2时,得图12,连结AD,由命题结论,不难证明∠P1+∠P2=∠A+∠B+∠C+∠D；

②同样由上述方法不难得到,当∠P变成n个角 ∠P1、∠P2、…、∠Pn时，∠P1+∠P2+…+∠Pn=∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠Dn-1.

可见变式,让命题绽放出新的光彩.通过一题多变,对学生的逆向思维发散思维创新能力的培养是大有裨益的.

四、命题的应用

例1.已知:如图13,△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交点P.

求证: ∠BPC=90°+1/2∠A.

证明:由命题可知, ∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP

=1/2∠A+1/2(∠A+∠ABC+∠ACB)

=1/2∠A+1/2×180°

=90°+1/2∠A.

例2.已知:如图14,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

解: 由命题可知, ∠1=∠A+∠C+∠D,

又由外角的性质可得∠2=∠B+∠E,

∴∠1+∠2=∠A+∠C+∠D+∠B+∠E.

∵∠1+∠2=180°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

例3.已知:如图15,△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线相交点P.

求证: ∠BPC=90°-1/2∠A.

证明:由命题的拓展图11的结论,可知, ∠P=∠1+∠2-∠A.又∠1=∠3, ∠2=∠4, ∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠P,∴∠P=180°-∠P -∠A.∴2∠P=180-∠A. ∴∠BPC=90°-1/2∠A.

例4．如图16，已知BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，且∠D=140°，∠E=120°.求∠A的度数.

解: 由命题可知, ∠D=∠DBE+∠DCE+∠E,

∠DBE+∠DCE=∠D-∠E=140°-120°=20°.

∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴∠DBE =∠ABE, ∠DCE =∠ACE.

∴∠ABE+∠ACE=20°,而由命题可知∠E=∠ABE+∠ACE+∠A, ∴∠A=∠E-(∠ABE+∠ACE)=120°-20°=100°.

可见,应用命题的结论可以帮助我们非常快捷地解决了较复杂的问题.

上述问题的发现和研究,不仅让我们体验到数学知识之间在其广袤的各展风采之间有其必然深刻的规律,而且启发我们在平时的教学中要充分发挥例题的教学作用，适当进行变式，逐步设置障碍，使学生面对适度的困难，开展尝试和探究，以不断增加学生创造性因素，经历“再发现、再创造”的过程，这样才能有利于发展学生的能力，有利于培养学生数学学习兴趣和创新精神，实现学生的全面发展。

（江苏省通州市兴仁初级中学）