离散数学入门教学初探
2009-03-17李军雄王凌燕
李军雄 王凌燕
摘要:离散数学作为计算机专业基础理论的核心课程，对计算机的发展和计算机的研究起着重要的作用。离散数学是一门学生与教师普遍感到教与学都较困难的现代数学分支，作者根据几年的教学经验和高职学生学习过程中的问题，对离散数学的教学作了一些探讨。
关键词:离散数学；入门教学；改革
随着市场经济的建立和发展，对人才的需求打破了以前按专业分配的模式，毕业生由统一分配向双向选择自谋职业转变。要使他们在竞争激烈的人才市场中站稳脚跟，光有基础知识不行，光有某一专业能力也不行，还必须要有较强的应变能力，这样才能与人才市场的需求迅速接轨。这种应变能力，是素质的具体表现，就是在已有知识的基础上，吸收和创造出有价值的新思想、新理论、新方法和新技术。因此，教育必须改革以传授已有知识为主的局面，树立以培养创造性为核心的素质教育观。应当注意的是，数学素质是人才全面素质的一个重要方面。数学素质高，对培养学生的创新意识和创新方法极为有利，不能把数学课单纯地看成是基础课，应当看成是培养人才素质的专门课程，必须保证为培养基本数学素质所需要的基本内容，把对学生数学素质的培养纳入对人才素质培养模式的总体框架之中，服务于整体的需要。
离散数学作为计算机科学中基础理论的核心课程，确实有一定的难度。计算机科学在其研究过程中需要借助于离散数学这个工具，离散数学对于计算机的发展和计算机的研究具有重要的作用。而离散数学是一门教与学都较困难的现代数学分支，它是研究离散对象之间关系的科学。该课程的特点是内容多、概念多、抽象化。学生对知识与知识之间的联系，如何将知识正确应用于解决实际问题，经常把握不好，仍然需要教师给予指导。我们应该使学生在掌握知识的同时提高分析问题和解决问题的能力，实现学习成果的转化。
思维方式
离散数学成为一门数学学科的时间并不长，但它已经成了计算机科学系统理论中不可缺少的核心课程和先行课程。它不仅在知识上为计算机专业基础课（编译原理、数字电路等课程）做准备，同时在思维方式——抽象性思维方面为学生打开了一道新的门。教师除了要教给学生数学工具外，更重要的是培养学生的思维能力和创造能力。该课程就是要培养学生的分析问题、解决问题的能力以及抽象思维能力。这就要求教师在讲课时条理非常清晰，并且告诉学生你的思维方式、分析问题的过程。
课后习题
每当讲解完概念、定理和方法后，应及时找一些课外习题讲解，并让学生练习，达到巩固知识的效果。因为一个好的示例不仅可以打开思想，而且对理解一种数学方法，理解理论的含意，能起到促进的效果。需要注意的是必须找课本以外的练习题。因为大学生具有自学能力，若仅仅是讲解课本上的例题，学生认为没有新意，他们看书就完全可以了，这样不能吸引学生的注意力。用课外的习题就不一样，因为书本上没有，学生就会仔细认真地去听，这样才有好的教学效果。要精选习题，多选与计算机科学直接相关的习题(例如编码、程序设计、数据结构等)，多选巩固概念、理解概念的习题，多选应用型的习题、证明题，尽可能少讲，以加强学生逻辑分析的能力。
强调应用
数学知识与数学素养对于工科学生的应用能力和进一步的开拓创新能力有很大的影响，有些时候甚至有决定性的影响。这一点，人们在理论上较容易接受，在实践上却未必认同。对于应用型的工科学生，他们一般更注意一种技能的获得。而对数学，对在无形中增长他们的判断能力和抽象思维能力，增长他们透过感性表象洞察隐蔽本质的能力，增长他们的条理性和逻辑性的数学，却难于产生热情。而愈无兴趣就愈觉枯燥，愈觉困难。这种负反馈在不少学生中存在。对于更为抽象的离散数学，这个问题会更加突出。
作者在教学过程中遇到过这样的情景，学生说学习离散数学这样的理论课程没有用处，所以没有兴趣，不想好好学。这是现在高职学生对于理论课程的一种普遍看法。其实我们都知道理论很重要，特别是数学知识很重要，但是学生没有这样的意识，为什么？这与许多教师在讲课时没有及时将所讲内容与现实应用联系起来，以至于让学生产生错误的认识是分不开的。所以要求教师在讲课时一定要清楚地让学生意识到自己所学的知识是非常有用的，教师应该将知识和实际联系起来（我校正在实施的“六位一体”课程能力目标教学改革）。针对计算机专业的学生这一特定的对象，应着重阐明概念与定理所涵盖的现实对象或现实模型，应尽量多介绍离散数学在计算机领域的应用。使学生感受到数学在其他学科中的巨大应用，并学会一些应用数学的方法。例如“一笔画”的问题。这是每一个学生都比较感兴趣的话题，我们从小就接触过这样的问题，有些图形可以一笔画成，有些则不可以，为什么？从这个角度入手容易引起学生的好奇心，接着再讲解欧拉图的内容就能收到很好的教学效果。
改变学生对离散数学的消极心态，调动学生的积极性，使他们感到离散数学的有用和有趣，自觉主动地去学习，这是学生不仅获得知识而且增长能力的前提。是完成教学要求的基本保证，也是教学改革的重要内容。
第一印象会长久鲜明地留在学生的头脑中，开始的教学不宜大量讲述抽象的概念和逻辑推演，而要对离散数学的历史、现状、应用作较生动的讲解。在各章节的开始，最好有主题介绍。对离散数学中的一些富于历史趣味的故事或富于启发性的问题应加以介绍。比如哥尼斯堡七桥问题，邮递员问题，一笔画问题，周游世界游戏问题等。有关的介绍不必全面和深入，而是应侧重讲解它们的意境，侧重讲解它们的趣味性和启发性，这些介绍宜分散到相关章节去做。接下去，应向学生提出一些富于思考性的问题，这些问题或与他们的专业有关，或与他们已有的知识有关，或出于他们的意外，或饶有趣味。这些问题使他们看来似能解决而又不能解决，这样就能启动学生思维的积极性。
改进教学法
不同内容的讲授，方法可以不同。有些概念可以从多个角度进行讲解。例如子图和生成子图的概念。子图和生成子图的定义如下:
1.图G=
2.如果G′是G的子图，并且V= V′（即子图G′包含G的所有节点），则称该子图G′为G的生成子图。
分析上述定义后，也可理解为:
在图G中删去一些边或顶点后所得的图称为图G的子图。
在图G中删去一些边后所得的图称为图G的生成子图。
传统的教学思想过分重视演绎法，演绎法虽然有利于学习已有的知识，但它注重繁琐的理论证明和局部的解题技巧，学生只能得到一些基本理论，而不能指导学生去发现，去创新。因此，在教学改革中，要让学生通过对各种现象的观察、分析，在演绎的基础上进行示例、类比、归纳，去发现问题、研究问题、解决问题。
近二十年来，由于计算机专业的兴起，“离散数学”这门课也随之开设。应当承认，该课程较为抽象，学与教两方面均存在一定的难度，正因为这个难度，使其成为一门培养素质与创造能力的好课程，通过有效的知识传授可
以达到培养素质的目的。
掌握知识框架
要想让学生从总体上把该课的结构、各部分内容之间的关系搞清楚，就要在每一章结束后，对本章的内容进行总结整理，让学生的脑海中有一个知识框架，帮助学生有一个清楚的知识体系。
多媒体课件的使用使用CAI，习题库的建立对计算机专业教学而言，更应早日提上日程。尽管离散数学CAI的编制有较大难度，但可由浅入深，由简到繁，逐步编制和使用。根据教材知识体系，把内容划分成集合论、数理逻辑、图论三个单元，编制各单元的辅导教学知识结构体系的文字教案或电子教案。
使用多样形式的教学方法讲清知识体系的内涵和外延，设计符合学生学习特点的多媒体教材，尽量将抽象的知识形象化，达到帮助学生理解和掌握知识的目的。
讲清楚内容对于有难度的内容，书本上书写不充分的内容或者学生看不懂的内容，在讲课过程中，一定要仔细地分析讲解，使复杂的问题简单化、抽象的问题形象化，从而达到较好的教学效果。
讲课速度教师一定要做好课前的教学设计，精心安排每次课的教学内容，争取整个教学过程都达到最佳效果。主讲课虽然以教师讲为主，但也要避免传统的“填鸭式”的满堂灌教学方式，要注意调动学生的学习积极性，充分发挥学生的主体作用。对主讲课的教学，教师要认真把握好速度、进度，切实注重教学效果，质量是根本，学生在理解的基础上掌握是目的。讲课时速度适中，难的内容多讲、慢讲，不能只求速度而不管学生的接受能力;简单的内容快讲、少讲，也可以让学生自学。特别应强调说明的是，自学能力强是素质高的一个表现，因为毕业后学生为了适应工作的需要，要吸收许多新的知识，这个时候主要靠自学。在教学中，有意识地指导学生自学某些章节是有益的。精心组织教学。需要教师更加充分备课，更加精心组织每次教学。让学生自学的某些章节，不是放任不管，而是需要精心策划。劳力且劳心，付出的应该更多。培养学生的素质，需要高素质的教师，需要教师努力提高自身的素质。要使学生具有创造性，教师在教学中就应有创造性。这些都需要对所教的课程反复钻研体会。
参考文献：
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[2]姜楠，信琦，等.离散数学辅助教学网站设计[J].大连民族学院学报，2004，5（4）.
[3]刘树利，王家玉.计算机数学基础（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2004.
作者简介：
李军雄（1967—），男，湖南郴州人，郴州职业技术学院计算机系副教授，研究方向为职业教育课程教学及学生管理。
王凌燕（1978—），女，湖南郴州人，郴州职业技术学院讲师。
（本文责任编辑：宋开峰）
