逆问题的分解方法

Andreas Kirsch Institute of Algebra and

Geometry University of Karlsruhe(TH)

Karlsruhe, Germany

The Factorization Method

for Inverse Problems

2008, 201pp.

Hardcover

ISBN:9780199213535

Oxford University Press

A.Kirsch等著

逆问题广泛出现于物理、生物、医学等领域，在地震探测、光学、图像处理、医学成像、语音处理等问题中有着广泛的应用。逆问题中有很大一类是形状确定问题，也就是如何利用探测到的数据去计算一个未知区域的边界，例如利用声波、电磁波或者弹性波的远场或近场数据去探测未知物体形状的反散射问题，通过物体表层电势的变化来反演内部电导率异常区域的电阻尼成像（Elecctric Impedance Tomography）技术都属于这一类问题。这类问题一般是非线性和不适定的。

本书是介绍如何反演未知区域形状的一本专著，所介绍的分解方法是近年发展起来的通过数值计算来反演区域边界的一种非迭代方法。与传统的迭代方法相比，分解方法的典型特征是它在不依赖于边界条件和区域的拓扑性质的基础上，通过算子分解提出了刻画未知区域边界的充分必要条件，这种刻画使得在数值计算方面更加迅速和准确。分解方法是在线性采样方法的基础上建立起来的，但比线性采样方法有更强的数学理论基础。阅读本书需要有扎实的泛函分析基础，同时对索伯列夫函数空间要有深刻的认识。

全书共分7章。1M4章主要介绍分解方法在三维声学逆散射中的应用。在这种声学模型中，波的传播可以用纯量Helmholtz方程来刻画，1M3章用于处理不可穿透散射体的Dirichlet、Neumann、 Robin以及混合边界条件，第4章研究可穿透散射体（非齐次介质）的情形。第5M6章分别介绍分解方法在时谐电磁波反散射和阻尼成像问题中的应用。第7章介绍反演区域几何形状的其它方法，包括线性采样（Linear Sampling）方法、奇异点源(Singular Point Source)方法和探测(Probe )方法，以及这些方法和分解方法之间的联系。

由于分解方法的准确和高效，该方法在周期散射、弹性介质、光学成像等问题中不断得到推广和应用。该书分章节着重介绍了分解方法在各个领域的应用，给出了处理不同问题的不同数学模型。

这本专著的作者之一A.Kirsch是电磁反散射领域知名的应用数学家，他和N.Grinberg所在的德国 Karlsruhe大学代数与几何研究所逆问题课题组也是世界上知名的研究小组，近年来在逆问题理论和数值计算方面取得了很多结果。

该书叙述严谨缜密，有很强的实用价值，因而很适合数学、物理学、光学、医学、工程等方面需要处理逆问题的研究生和其他科研工作者阅读参考。

胡广辉，博士生

(中国科学院应用数学所)

Hu Guanghui, Doctoral Candidate

(Institute of Applied Mathematics, CAS)