一种基于模板元编程的量纲检测方法

罗京丽　杜建革

摘 要：量纲误用是科学计算应用程序中一种常见的错误，对计算结果的正确性影响很大。在此提出一种基于模板元编程的量纲检测方法TADA，能够有效完成C和C++程序代码的量纲检测工作。该方法利用程序设计语言自身的模板元编程功能，通过定义相关的量纲模板及其计算和标注方法，依靠编译器在编译期间完成量纲分析和检测，无需任何运行开销，有效解决了传统量纲检测系统中解方程组的计算量瓶颈等问题。

关键词：模板元编程；TADA；量纲；计算量瓶颈

中图分类号：TP393 文献标识码：B 文章编号：1004－373X(2009)04－080－06

Dimensional Unit Analysis Method Based on Template Meta－programming

LUO Jingli1，DU Jiange2

(1.Jiangxi Light Industry College,Yichun,336000,China;2.Nanjing University of Technology,Nanjing,210094,China)

Abstract：Misuse of measurement units is a common mistake in many scientific computing applications.It greatly influences the correctness of the application results.TADA,a tool that effectively detects errors of this kind for C/C++ programs is proposed.Making use of the function of template meta－programming in the language itself,TADA analyses the dimensional units and detects mismatches only by a standard C++ compiler in compile time without any runtime overhead.It avoids the computational bottleneck of solving linear equations introduced by traditional methods.

Keywords：template meta－programming;TADA;measurement unit;computational bottleneck

0 引 言

量纲误用在科学计算程序中是一种常见的错误，然而程序设计语言的标准类型系统却对此无

能为力。物理方程中的量纲错误可以手工分析出来，然而求解物理方程的计算机程序中的量纲错误却难以被发现，因为计算程序往往很复杂。例如，一些研究者认为火星气候探测卫星的丢失，是因为程序中把一个英制单位的变量传递给了使用公制单位的模块［1］。因而，量纲的正确性对计算结果的正确性非常重要。

近年来，研究者们提出了一些量纲检测方法［2－5］，典型的如Osprey量纲检测方法［2］。Osprey方法包含5个主要步骤：

(1) 对待检测源程序进行单位标注，使得检测器能够知道每个变量的单位；

(2) C语言解析和语法检查；

(3) 生成包含单位信息的抽象语法树；

(4) 生成约束（方程）；

(5) 方程的化简及高斯消去求解（GE）。

可以看出，Osprey方法步骤较多，每步都需要语言外的其他工具，并需要对其进行修改、扩充，而且最后的高斯消去（GE）计算量非常大，是Osprey方法的性能瓶颈。使用Osprey方法还有一个问题，就是需要同时维护2份源代码：一份正常代码用于编译测试；另一份包含量纲信息的检测代码，修改正常代码后必须及时对检测代码进行更新，维护起来也比较繁琐。此外，由于C++语言的解析非常困难，Osprey方法目前没有实现对C++程序的量纲检测。

针对这些问题，提出一种基于模板元编程的量纲检测方法TADA（TMP－bAsed Dimensional Analysis Method），其基本思路是利用程序设计语言自身的模板元编程（Template Meta Programming，TMP）功能，让编译器在编译时对程序中的量纲进行准确性检测，从而可以避免Osprey方法的计算量大等诸多问题。TADA方法具有下列优点：

（1） TADA方法可使得应用开发人员不需要维护2份代码，因为使用TADA方法的检测程序也完全是一个合法的可编译的程序。

（2） TADA方法的量纲检测完全在编译期间进行，对程序不会引入任何运行时开销。

（3） TADA方法无需进行方程组求解工作，可以适用于任何规模的程序。与Osprey等方法类似，TADA方法也需要手工对程序添加量纲信息，其标注的工作量与Osprey等方法相当。但TADA方法中编译器在进行检测的时候无需进行Osprey方法中的方程组求解工作，因而不再有Osprey方法的计算瓶颈。

（4） TADA方法采用模块化设计，使得单位的表示与匹配检测之间实现了松耦合，支持用户可以以一致的方式增加新的单位。

1 模板元编程（TMP）技术

在C++程序设计语言中，模板元编程［6－8］是实现代码重用的一种重要机制。下面首先对模板元编程技术进行介绍，然后给出TADA方法中需要使用的几个基本的模板元程序。

1.1 模板元编程简介

模板可以将类型定义为参数，以提高代码的可重用性。模板包括类模板和函数模板等。函数模板与模板函数的区别可以类比于类与对象的区别：函数模板是模板的定义；而模板函数是函数模板的实例，具有程序代码，占用内存空间。当编译系统发现了函数模板一个对应的函数调用后，根据实参的类型来确认是否匹配函数模板中对应的形参，然后生成一个重载函数，称该重载函数为模板函数。类似地，在声明了一个类模板后，也可以创建类模板的实例—模板类。

类模板的一般形式如下：

template

class 类名｛

//类定义…

｝；

C++的模板系统能够通过模板的特化、偏特化实现逻辑判断，并能通过模板递归实现循环，构成了一个图灵完全的二级语言［6］。使用这种二级语言进行编程叫作C++模板元编程（Template Meta Programming，TMP）。模板元编程的驱动力是模板的递归实例化。下面给出C++模板元编程的一个示例。

首先定义一个类模板，通过该类模板可实现在编译期间计算4的任意次方。如下所示：

pow4.hpp

#ifndef POW4_HPP

#define POW4_HPP

//primary template to compute;

template

class Pow4 {

public:

enum { result = 4 * Pow4::result };

};

//full specialization to end the recursion

template<>

class Pow4<0> {

public:

enum { result = 1 };

};

通过下面的程序来使用该模板。

Test.cpp

#endif // POW4_HPP

#include

#include "pow4.hpp"

int main()

{

std::cout << "Pow4<7>::result = "

<< Pow4<7>::result << '\n';

}

程序Test.cpp执行完后，会正确输出4的7次方的值，该数值是C++编译器在编译模板元程序时递归计算得到。由于模板元程序完全在编译期间执行，相当于对编译器功能进行扩充，因而利用这种程序进行量纲检测具有良好的可行性。

1.2 基本模板元程序

下面给出TADA方法中需要使用的几个基本的模板元程序。

（1） 静态判断

template

struct StaticIF

{

typedef T2 ResultType;

};

template

struct StaticIF

{

typedef T1 ResultType;

};

语法：StaticIF::ResultType

语义：当cond为真时，ResultType为T1，否则ResultType为T2。

（2） 静态断言

template void StaticAssert(){return UnitError;};

template<> void StaticAssert(){};

语法：StaticAssert();

语义：当cond为真时什么也不做，否则产生一个编译期错误（UnitError没有定义，或void函数不应该有返回值）。

（3） 静态绝对值

template

struct StaticABS

{

static const int value = n>=0 ? n :－n;

};

语法：StaticABS::value

语义：n的绝对值，其中n为int类型。

（4） 静态最大公约数

template

struct StaticGCD

{ //b!=0

static const int result = StaticIF<(a,StaticGCD >::ResultType::result;

};

template

struct StaticGCD

{

static const int result=a;

};

语法：StaticGCD::result

语义：递归的使用辗转相除法在编译期间求出a与b的最大公约数，其中a与b为int类型。

2 TADA量纲检测方法

TADA量纲检测方法需要涉及到单位和量纲的表示、计算、标注以及数学运算函数的量纲包装等各个组成步骤，下面将依次对其进行介绍。

2.1 单位和量纲的表示

在Osprey方法中，量纲是用一个长度为7的向量表示的，每个分量对应一个SI标准量纲。TADA方法中也采用了这种方式。为了简化阐述，本文只讨论长度、重量、时间这三种量纲，其SI单位分别为米、千克和秒（TADA方法可直接推广到其他各种量纲）。由于TMP程序的特殊性，它并没有数组或向量的支持，也不能使用浮点数据（使用浮点数表示量纲也会带来不精确性），量纲在TMP程序中的表示形式有所不同：用u11，u12，u21，u22，u31，u32之类的整型量分别表示米u11u12,千克u11u12,秒u11u12，并辅以ratio表示同量纲、不同单位之间的比值，如分钟和秒的比值为60。

TADA方法可静态地建立如下常用单位：

Struct UnitRoot//无量纲

{

static const int u11 = 0;

static const int u12 = 1;

static const int u21 = 0;

static const int u22 = 1;

static const int u31 = 0;

static const int u32 = 1;

static const double ratio;

};

const double UnitRoot::ratio=1;

struct ULength: UnitRoot {}; //长度量纲

struct UWeight: UnitRoot {}; //重量量纲

struct UTime:UnitRoot {}; //时间量纲

struct UAngle:UnitRoot {}; //角的大小（无量纲）

struct UnitLess :UnitRoot {}; //无量纲

struct UMeter:ULength{static const int u11=1;}; //米

struct UKG:UWeight{static const int u21=1;}; //千克

struct USecond:UTime{static const int u31=1;}; //秒

struct UAcceleration:UnitRoot {static const int u11=1;//加速度：米/秒^2

static const int u31=－2;};

struct URadian: UAngle{}; //角度

struct UAngleDegree:UAngle{static const double ratio;}; //弧度

const double UAngleDegree::ratio=180/3.141592653589793;

//弧度与角度的比例

模板元程序在计算公式的时候需要推导出新的量纲，例如在计算“e=12mv2”的时候，编译器应该能根据等号右边的公式计算出它的量纲，并与e的量纲进行比较判别。TADA方法的量纲是用分数形式表示的，在每次量纲计算之后都需要进行分数的约分处理，才能进行相等性判断，因而TADA方法可用如下的方式处理新生成单位，如下所示。

template

struct BuildUnit :public UnitRoot

{

static const int gcd1 = StaticGCD::result;

static const int gcd2 = StaticGCD::result;

static const int gcd3 = StaticGCD::result;

static const int u11 = U11/gcd1;

static const int u12 = U12/gcd1;

static const int u21 = U21/gcd2;

static const int u22 = U22/gcd2;

static const int u31 = U31/gcd3;

static const int u32 = U32/gcd3;

};

2.2 单位和量纲的计算

由于量纲都是用分数表示的，因而其计算会稍有麻烦。下面定义TADA方法中量纲分数的加、减、乘、除和等价测试运算。

（1） 分数的加法运算，如下所示。

template

struct FractionAdd

{

static const int U1=u11*u22+u21*u12;

static const int U2=u12*u22;

};

语法：FractionAdd ::U1、FractionAdd::U2

语义：分数相加并约分，即：

U1U2=u11*u22+u21*u12u12*u22，且GCD(U1,U2)=1。

（2） 分数的减法运算。

TADA方法通过加法实现减法计算，如下所示。

template

struct FractionSub

{

static const int U1=FractionAdd::U1;

static const int U2=FractionAdd::U2;

};

语法：FractionSub::U1、FractionSub::U2

语义：分数相减并约分，即：

U1U2=u11*u22－u21*u12u12*u22，且GCD(U1,U2)=1。

（3） 单位相乘。

分别将3个量纲分数相加，然后使用BuildUnit生成新单位。

template

struct UnitMultiply

{

typedef FractionAdd

b::u12> FM1;

typedef FractionAdd

b::u22> FM2;

typedef FractionAdd

b::u32> FM3;

typedef BuildUnit<

FM1::U1,FM1::U2,

FM2::U1,FM2::U2,

FM3::U1,FM3::U2> ResultType;

};

语法：UnitMultiply::ResultType

语义：单位Ua与单位Ub相乘后的新单位。

（4） 单位相除。

与乘法处理方式相似。

template

struct UnitDivide

{

typedef FractionSub

b::u12> FM1;

typedef FractionSub

b::u22> FM2;

typedef FractionSub

b::u32> FM3;

typedef BuildUnit<

FM1::U1,FM1::U2,

FM2::U1,FM2::U2,

FM3::U1,FM3::U2> ResultType;

};

语法：UnitDivide ::ResultType

语义：单位Ua除以单位Ub后的新单位。

（5） 单位的等价测试函数（宏）

#define UNIT_CHECK(a,b) StaticAssert<

(a::u11==b::u11) && (a::u12==b::u12) &&

(a::u21==b::u21) &&

(a::u22==b::u22) &&

(a::u31==b::u31) && (a::u32==b::u32)>()

语法：UNIT_CHECK(Ua,Ub);

语义：若单位Ua与单位Ub等价则不产生任何效果，否则产生编译期错误。

2.3 单位和量纲标注的原理和语法

与Osprey等方法类似，TADA方法也在待检测源程序进行单位标注，以使得检测器能够知道每个变量的单位。由于经过单位标注的待检测程序仍然是合法的可编译的程序，所以标注信息必须由语言自身已有的语法要素构成；标注信息还不能影响被标注变量的任何计算特性及使用方式，只有满足这两点要求的标注方式才能使标注工作量最小化。此外，已标注变量应该禁止从未标注变量进行各种隐含的类型转换，这样严格的限制才能有效进行单位量纲的匹配检测。对于C++语言来说，可以采用模板类的方式实现。

标注实质上是把语言原始的数据类型替换成TADA方法预定义的模板类，而模板类实现了各种运算符号的重载，同时禁止了任何隐含的类型转换，使得量纲标注既满足语法要素的要求，又满足计算兼容性的要求和禁止隐含转换的要求。TADA方法中标注的实现如下所示。

template

//T为基础变量类型（int、double...）

struct UnitBase//U为单位量纲信息

{

typedef UnitBase ThisType;//自身类型

T value; //实际的数值

UnitBase(){}

explicit //禁止从基础类型进行隐含构造转换

UnitBase(T init_value):value(init_value){}

operator T (){return value;}

//允许向基础类型隐含转换

//以下定义各种运算符，使得标注类可以模拟原始变量进行各种运算

#define TEMPLATE template

TEMPLATE UnitBase(const UnitBase& rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);//单位等价性检测

value=rhs.value;

}

TEMPLATE ThisType& operator = (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

value=rhs.value;

return *this;

}

TEMPLATE bool operator == (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

return value==rhs.value;

}

TEMPLATE ThisType& operator += (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

value+=rhs.value;

return *this

}

TEMPLATE ThisType& operator －= (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

value－=rhs.value;

return *this

}

TEMPLATE ThisType operator + (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

return ThisType(value+rhs.value);

}

TEMPLATE ThisType operator － (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U,U2);

return ThisType(value－rhs.value);

}

TEMPLATE UnitBase::ResultType>

operator * (UnitBase rhs)

{

typedef UnitMultiply::ResultType TT;

return UnitBase(value*rhs.value);

}

TEMPLATE ThisType& operator *= (UnitBase rhs)

{

UNIT_CHECK(U2,UnitRoot);

value*=rhs.value;

return *this;

}

TEMPLATE UnitBase::ResultType>

operator / (UnitBase rhs)

{

typedef UnitDivide::ResultType TT;

return UnitBase(value/rhs.value);

}

#undef TEMPLATE

//以下定义可以显式禁止其他一切引起隐含类型转换的运算

template ThisType operator + (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType operator － (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType operator * (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType operator / (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType& operator += (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType& operator －= (T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType& operator *=

(T2 rhs){return UnitError;}

template ThisType& operator /= (T2 rhs){return UnitError;}

};

2.4 定义单位量纲

量纲检测系统应该预定义常用单位量纲，以方便应用开发人员使用。TADA方法采用如下方式定义单位量纲：

{//米

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBase Float;

typedef UnitBaseInt;

typedef UnitBaseLong;

}

namespace KG //千克

{

typedef UnitBaseDouble;

typedef UnitBaseFloat;

typedef UnitBase Int;

typedef UnitBaseLong;

}

namespace Second//秒

{

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBase Float;

typedef UnitBaseInt;

typedef UnitBase Long;

}

namespace Acceleration //加速度：米/秒^2

{

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBaseFloat;

typedef UnitBaseInt;

typedef UnitBaseLong;

}

namespace Radian//弧度

{

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBase Float;

typedef UnitBaseInt;

typedef UnitBase Long;

}

namespace AngleDegree //角度

{

typedef UnitBase Double;

typedef UnitBase Float;

typedef UnitBase Int;

typedef UnitBase Long;

}

……

2.5 数学运算函数的量纲包装

对于指数、对数、三角函数等已有的数学运算函数，其参数与返回值都是没有单位量纲的，不能直接用于有量纲的公式计算。针对这个问题，TADA方法提供了这些函数的量纲包装，以sqrt和sin为例如下：

#define HALF_UNIT(U) BuildUnit

template

UnitBase Sqrt(UnitBase

U> n)

{//开方函数应使单位的所有量纲减半

return UnitBase(::sqrt(n.value));

}

#undef HALF_UNIT

template

UnitBase Sin(UnitBase n)

{//正弦函数的参数应为弧度，返回值为无量纲

UNIT_CHECK(U,URadian);

return UnitBase(::sin(n.value));

}

2.6 辅助工具

TADA方法还提供了一些辅助工具，用于将量纲变量以适合阅读的方式显示出来，例如：

Unit::Second::Double n(10);

Unit::Meter::Double m(20);

cout<

可以得到这样的输出结果：

0.2米/秒^2

2.7 分析和评估

在TADA方法的基础上，实现了面向C/C++程序的量纲检测系统（TADA系统），并对TADA系统的检测能力进行了分析和评估。

首先采用TADA系统来检测下面的样例程序。

unit.cpp

#include "unit.h"

using namespace std;

int main(int argc,char* argv［］)

{

Unit::Second::Double n(10);

Unit::Meter::Double m(20);

Unit::KG::Double c; //示量纲不匹配

c=m/n/n;

return 0;

}

在TADA系统中，Visual Studio 2003编译该程序会出现类似如下的错误信息，错误信息的第3行就表明了unit.cpp的第9行有错误。

meta_prog_basic.h(15) :error C2065:"UnitError":未声明的标识符

d:\My Documents\Visual Studio Projects\unit\unit_core.h(70) :参见…的引用

d:\My Documents\Visual Studio Projects\unit\unit.cpp(9) :参见…的引用

…

在检测能力方面，采用文献［2］的样例程序对TADA系统和Osprey系统的量纲检测能力进行了对比评估。在文献［2］中，Osprey共找到了3个错误，其中前2个是单位误用错误，第3个是单位转换比例因子错误。TADA系统也完全找到了前2个错误，而第3个错误在标注时被避免掉了，因为该单位系统包含了量纲之间的比例因子，能够进行自动的单位转换。

在性能和可扩展性方面，TADA系统能够更有效地实现对C/C++程序的量纲检测。Osprey系统引入了具有较高计算复杂度的线性方程组求解步骤，需要很大的计算和时间开销来解线性解方程组。TADA系统基于模板元编程技术，只需要利用语言自身的语法能力，靠编译器进行单位量纲检查，没有带来太多额外的复杂计算。并且TADA系统不会带来任何程序的运行时开销。因此TADA系统可适用于各种规模的C/C++程序，具有更好的性能和可扩展性。

在易用性方面，TADA系统的标注负担与Osprey系统相当。由于TADA系统利用C++编译器的功能进行错误检测，而C++编译器遇到模板错误时的错误信息却不很直观，错误报告的可读性较弱，但仍可以快速定位到错误点。

3 结 语

这里提出一种新颖的基于模板元编程的单位量纲检测方法TADA，并基于该方法实现了一个单位量纲检测系统。

TADA方法采用模板元编程技术，使得经过单位量纲标注的受测程序仍然是一个完整、合法、可编译的C/C++程序，无需维护多套程序代码，也无需进行复杂的解方程组运算，就能够在程序代码中发现量纲错误，具有良好的实用性和可扩展性，可以有效适用于多种规模程序的量纲检测。

参 考 文 献

［1］Mars Climate Orbiter Mishap Investigation.ftp://ftp.hq.nasa.gov/pub/pao/reports/1999/MCO_report.pdf.

［2］Jiang Lingxiao,Su Zhendong.Osprey:A Practical Type System for Validating Dimensional Unit Correctness of C Programs.Proc.of ICSE′06.Shanghai,2006.

［3］Allen E E,Hase D,V.Luchangco,et al.Object－oriented Units of Measurement.Proc.of OOPSLA′04.Canada,2004:384－403.

［4］Brown W E.Applied Template Meta－programming in SIUNITS:The Library of Unit－based Computation.http://www.oonumerics.org/tmpwol/brown.pdf,2001.

［5］Foster J S,Ahndrich M F,Aiken A.A Theory of Type Qualifiers.Proc.of PLDI′99.Ottawa,1999,34(5):192－203.

［6］Todd L Veldhuizen.C++ Templates are Turing－complete.http://osl.iu.edu/~tveldhui/papers/2003/turing.pdf.

［7］Micolai Josuttis,David Vandevoorde.C++ Templates:The Complete Guide.Pearson Education,2003.

［8］The Boost:MPL Library.http://www.boost.org.

［9］Anderson E,Bai Z,Bischof C,et al.LAPACK Users′ Guide.Third Edition.Society for Industrial and Applied Mathematics,1999.

［10］Das M,Lerner S,Seigle M.ESP:Path－sensitive Program Verification in Polynomial Time.Proc.of PLDI′02.Ottawa,2002:57－68.

［11］Antoniu T,Steckler R A,Krishnamurthi S,et al.Validating the UnitCorrectness of Spread Sheet Programs.Proc.of ICSE′04.Edinburg,2004:439－448.

作者简介 罗京丽 女，1977年出生，江西安福人，江西省轻工高级技校讲师，学士。主要研究方向为计算机软件和计算机应用。

杜建革 男，1973年出生，重庆人，南京理工大学硕士。主要研究领域为计算机软件和计算机应用。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。