期末复习专题讲解——思想方法

赵广玲

数学思想贯穿于数学学习的全过程，只有掌握了数学思想，才能使数学更易于理解和记忆，才能真正学好新知识，将知识转化为能力. 在七年级上学期的学习内容中，就蕴涵着丰富的数学思想.现举例说明如下.

1. 归纳思想

归纳就是从特殊的、个别的事例推出一般规律，归纳的过程就是创新的过程.这种思想方法常用于探索规律型问题.

例1观察下列式子，探索其规律并填空.

1=（-1）2 × 1；1-3=（-1）3 × 2；1-3+5=（-1）4 × 3；1-3+5-7=（-1）5× 4……

请你计算：1-3+5-7+…+（-1）n+1 × （2n-1）=

.

观察上面几个式子，我们发现，等式左边都是奇数，符号“+”、“-”轮流出现；右边为两数的积，其中第一个因数是－1的乘方的形式，其指数比左边的项数大1，第二个因数就是左边的项数. 因而1-3+5-7+…+（-1）n+1 × （2n-1）=（-1）n+1 × n.

解：填（-1）n+1 × n.

探究规律型问题是创新思维的重要体现，要求我们从几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、归纳出一般的规律和性质.反过来，运用一般的规律和性质又可以验证特殊的问题，这是数学中经常使用的方法.

2. 分类讨论思想

当被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的所有情况分别加以讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的方法为分类讨论思想.

例2已知线段AB=4.8cm，C是线段AB的中点，D 是线段BC的中点，点E在线段AB上，且CE=AC，画图并计算线段DE的长.

画图时，根据点E在线段AB上可知，它既可能在点C的左侧，又可能在点C的右侧.

解：（1）如图1，当点E在点C的左侧时，因为AB=4.8cm，C是线段AB的中点，所以AC=BC=AB=2.4cm.因为D 是线段BC的中点，所以CD=BC=1.2cm.又因为CE=AC，所以CE=0.8cm. 所以DE=CD+CE=1.2+0.8=2（cm）.

（2）如图2，当点E在点C右侧时，根据上面的过程可知， DE=CD-CE=1.2-0.8=0.4（cm）.

若题中没有给出图形，且图中某些元素位置关系不明确，往往要分类讨论，以免因考虑不周而造成漏解. 分类必须遵循以下两条原则：（1）每一次分类都要按照同一标准进行；（2）不重复，不遗漏.

3. 用字母表示数的思想

用字母表示数是代数的一个重要特点，也是数学中重要的思想方法. 用字母表示数，既能高度概括数学问题的本质规律，又能使数学问题的表达变得简单明了，从而给计算和研究带来方便.

例3计算：（++…+）（1++…+）-（1++…+）（++…+）.

这道题直接进行计算很麻烦，通过观察可以发现，四个括号内的分数和具有一定的联系. 若把括号内的分数和用字母表示，则可把数的运算变成式的运算.

解：设1++…+=a，++…+=b，则a-b=1.

原式=（b+）a-（a+）b==.

用字母代换复杂的式子，把繁杂的数字计算问题转化为简单的整式运算问题，简化了解题过程，从而达到了化繁为简、化难为易的效果.

4. 数形结合思想

所谓数形结合思想就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既弄清其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合寻求解题思路.

例4如图3，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1.与数a对应的点在M点与N点之间，与数b对应的点在P点与R点之间.若|a|+|b|=3，则原点可能是（）.

A． M点或R点B． N点或P点

C． M点或N点D． P点或R点

若原点为M点，由题意知0 < a < 1，2 < b < 3，故有可能使|a|+|b|=3.若原点为N点，由题意知-1 < a < 0，1 < b < 2，故不可能使|a|+|b|=3. 同理可知，R点可能是原点，P点不可能为原点.

解：选A.

这里我们运用数形结合思想，先假设某种情况正确，经过推理对结论进行判断，当然我们也可以利用特殊值来验证.

5. 转化思想

转化思想就是将所要解决的问题转化为一个较易解决或已经解决的问题.具体来说，就是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题. 它是初中数学中最重要、最常见的思想方法.

例5对于任意两个有理数对（a，b）和（c，d），我们规定：当a=c，b=d时，有（a，b）=（c，d）；运算“”为（a，b）（c，d）=（ac，bd）；运算“”为（a，b）（c，d）=（a+c，b+d）．设p、q都是有理数，若（1，2）（p，q）= （2，-4），则 （1，2）（p，q）=．

这道题通过定义新运算符号，增加了神秘色彩. 解答这道题的关键是正确理解题中规定的运算规则，按照规则把数对中的数进行运算.

解：由于（a，b）（c，d）=（ac，bd），所以（1，2）（p，q）=（p，2q）.

根据题意，有（p，2q）=（2，-4），所以p=2，2q=-4.解得p=2，q=-2.

又因为（a，b）（c，d）=（a+c，b+d），所以（1，2）（p，q）=（1，2）（2，-2）=（1+2，2-2）=（3，0）.故填（3，0）.

解这道题的关键是理解新运算符号的含义，按照其运算法则把陌生的问题转化为熟悉的问题.

6. 整体思想

对于某些数学问题，若从局部着手求出个体可能比较困难，有时甚至不可能，这时可利用整体思想，将注意力和着眼点放在问题的整体上. 把一些看似彼此独立但实质上紧密相关的量作为整体进行处理，这样容易发现问题的实质.

例6当x=2时，代数式ax3-bx+5的值是4. 当x=-2时，求ax3-bx+5的值.

根据已知条件我们无法求出a、b的值，但当x的取值互为相反数时，ax3-bx的取值也互为相反数，因此，利用整体思想可以找到解决问题的途径.

解：当x=2时，ax3-bx+5=4，所以23a-2b+5=4，即8a-2b=-1.

当x=-2时，ax3-bx+5=（-2）3a-（-2）b+5= -8a+2b+5=-（8a-2b）+5=-（-1）+5=6.

当单个字母的值不易求出时，可把已知条件中的式子作为一个整体，把这个整体看成一个新的“字母”，再求关于这个新“字母”的代数式的值.

7. 方程思想

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量之间的数量关系利用等式表示出来，并通过解方程使问题得到解决. 许多题目表面上看并不是方程问题，有的甚至是几何问题，但是也能运用方程思想来求解.

例7李刚在记账时发现现金比账目少了153.9元，查账后得知是账目中的一笔支出款的小数点记错了一位.这笔记错的支出款实际是元.

应抓住“小数点记错了一位”这一主要信息，“小数点记错了一位”的实际含义就是把某个数扩大了10倍或缩小到原来的.通过设未知数，利用方程思想即可求出结果.

解：设这笔记错的支出款实际是x元，记账时记成了10x元.

根据题意，得10x-x=153.9.解得x=17.1.故填17.1.

列方程解应用题最重要的步骤是审题，认真审题是列方程的基础.准确找出已知量与未知量之间的关系是列方程的关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解方程.

数学思想是数学知识的基础和精髓，而数学方法则使数学思想得以具体实施，二者相辅相成. 虽然课本上没有专门的章节介绍数学思想方法，但它隐含在概念的形成、公式的推导、法则的论证及习题的解决等过程中，因而同学们要用数学思想方法武装自己，使自己真正成为数学学习的主人.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。