一元一次方程复习指导

刘东升

一、复习目标

了解一元一次方程及其相关概念，通过观察、归纳得出等式的性质，熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想.

能够找出实际问题中的已知量和未知量，分析它们之间的关系，设未知数，利用方程表示问题中的等量关系，从而求得问题的解.会根据问题的实际意义检验求得的结果是否正确.

二、复习建议

1. 在解方程时，不必严格按照课本中所讲的基本步骤进行，可以根据方程的特点，灵活选择步骤或合并某些步骤，以达到快速、准确的目的．

2. 本章中列方程解决实际问题的类型较多，学习时不要死记题型，要通过解题努力提高分析问题和解决问题的能力．

3. 要注意检验求得的结果是不是方程的解．列方程解决实际问题时，还要注意判断方程的解是否符合实际意义．

三、重要知识点回顾

1. 表示的式子叫做等式.在等式中，等号左右两边的式子分别叫做这个等式的和.等式的左右两边可以分别是数或.

2. 叫做方程.只含有未知数，并且未知数的指数都是的方程叫做一元一次方程.使方程中等号左右两边的未知数的值就是方程的解.

3. 等式有两个重要性质：（1），可用字母表示为；（2），可用字母表示为.

4.方程中的任何一项都可以在后从方程的一边移到另一边．

5. 解一元一次方程一般有五个步骤，具体的做法、依据如下.

（1）去分母， 即在方程的两边同乘以各分母的，其依据是等式的.去分母时不要漏乘____的项，同时又要注意分数线的作用，去分母时分子若是多项式要加上.

（2）去括号，一般是先去，再去，最后去.要注意，括号前的系数不能漏乘括号内的任一项，若括号前面是“-”，去括号时括号内的各项都要改变.

（3）移项，即把含有的项都移到方程的一边，把其他项移到另一边.从方程的一边移到另一边应注意，在同一边改变项的位置不叫移项.

（4）合并同类项，即把方程化为的形式.合并同类项时要把各项的系数，字母及字母的指数.

（5）化系数为1，即在方程两边都未知数的系数，其依据是.未知数的系数是分数时应注意分子与分母的区别.

6. 列一元一次方程解应用题的一般过程：（1）弄清题意，了解题中的关系；（2）找出能够表示题目含义的关系；（3）设出未知数，用含有未知数的式子表示出相关的量，然后利用已找出的关系列出方程；（4）解所列的方程，求出的值；（5）检验所求出的未知数的值是不是方程的，是否符合实际意义.

四、考点透视

考点1：一元一次方程的识别

例1下列各式：①2x-3；②3x+2=3；③5+（-2）=3；④x-y=0；⑤x2-5x+2=0.其中是一元一次方程的有（）．

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

2x-3不是等式，因而不是方程；5+（-2）=3是等式，但不含未知数，所以不是方程；x-y=0是等式，也含有未知数，但有两个未知数，它是二元一次方程；x2-5x+2=0中未知数的最高次数是2，是一元二次方程；只有3x+2=3是一元一次方程.故选A.

这道题考查一元一次方程的识别，我们要准确理解一元一次方程的定义.一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的指数都是1的方程．

考点2：一元一次方程的解法

例2解方程：-=3-.

去分母，得2（x-1）-（5+x）=18-3（x+1）.

去括号，得2x-2-5-x=18-3x-3.

移项，得2x-x+3x=18-3+2+5.

合并同类项，得4x=22.

系数化为1，得x=.

这道题可以帮助同学们复习解方程的几个步骤.要特别注意，去分母时不能漏乘不含分母的项，去括号时不要弄错符号．

考点3：一元一次方程中待定系数的确定

例3（2008年上海市中考题）如果x=2是方程x+a= -1的解，那么a的值是（）．

A． 0 B． 2 C．-2 D．-6

由一元一次方程的解的定义，可把x=2代入方程x+a=-1中，得1+a=-1，于是可得a=-2.选C．

这是一道经典的求待定系数问题，初中数学里有很多类似的题目. 处理这类问题的一般策略是将方程的解代入所给方程，得到关于待定系数的方程（这道题中我们得到了关于a的方程），再求解即可．

例4已知关于x的方程=x+与=3x-2的解相同，则m=.

方程=x+的解是x=-m，方程=3x-2的解是x=1.

根据题意，得-m=1，所以m=-.

这是一个利用同解方程确定待定系数的问题，我们可先根据题意把可解的方程解出来，再将解代入含有待定系数的方程，就可使问题获解．

考点4：构建一元一次方程解应用题

例5（2008年温州市中考题，有改动）为了奖励数学学习兴趣小组的同学，张老师花92元钱购买了《智力大挑战》和《数学趣题》两种书共9本．已知《智力大挑战》每本18元，《数学趣题》每本8元，则《数学趣题》买了本．

设《数学趣题》买了x本，则《智力大挑战》买了（9-x）本，可列方程8x+18（9-x）=92.解得x=7.故《数学趣题》买了7本．

在这个问题中，《数学趣题》与《智力大挑战》的本数都是未知量，先设出其中一个，然后可根据它们的和为9表示出另一个未知量，这样才能顺利构建一元一次方程求解．

考点5：利用一元一次方程进行推理

例6陈老师为学校购买了运动会的奖品，回到学校向后勤处王主任交账，他说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元.买书前我领了1 500元，现在还余418元. ” 王主任算了一下，说：“你肯定搞错了. ”

（1） 王主任为什么说陈老师搞错了？试用方程的知识给予解释.

（2） 陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了1个笔记本. 但发票上笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出是一个小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？

（1） 设单价为8元的书买了x本，得

8x+12（105-x）=1 500-418.

解得x=44.5，不符合题意，所以王老师肯定搞错了.

（2） 设单价为8元的书买了y本， 笔记本的单价为a元.

依题意，得8y+12（105-y）=1 500-418-a.

从而可得178+a=4y.

由于 a、y都是整数，178+a应能被4整除，故a应为大于0的偶数.

又知a为小于10的整数，所以 a可能为2、4、6、8.

当a=2时，4y=180，y=45，符合题意；

当a=4时，4y=182，y=45.5，不符合题意；

当a=6时，4y=184，y=46，符合题意；

当a=8时，4y=186，y=46.5，不符合题意 .

故笔记本的单价可能是2元或6元 .

（1）是借助一元一次方程求得一个非整数解，不符合题中情境，因而舍去.这是让同学们自主推理的典型问题，这种根据情境进行推理的应用型问题同学们要重视．（2）涉及分类讨论思想.根据问题的情境引入一个待定系数，结合整除的性质进行推理分析，要求较高，同学们要注意体会这种推理方法．

五、小试身手

1． 下列各式中，不属于方程的是（）.

A． 2x+3-（x+2） B． 3x+1-（4x-2）=0

C． 3x-1=4x+2 D． x=7

2． 以下结论正确的是（）.

A． 若x+3=y-7，则x=4

B． 若7y-6=5-2y，则7y+6=17-2y

C． 若0.25x=-4，则x=-1

D． 若8x=-8x，则8=-8

3． 下列说法：①若mx=my，则mx-my=0；②若mx=my，则x=y；③若mx=my，则mx+my=2my；④若x=y，则mx=my．其中正确的有（）.

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

4． 在某地抗洪时，救灾小组用卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少 2 万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方. 若这堆石料共有x万方，则可列方程为（）．

A． x-x-2-［x-x+2+3］=12

B． x-x-2-［x-x+2+3］=12

C． x-x-2-［x-x-3］=12

D． x-x-2-x+3=12

5． 已知x=2是方程ax-5x-6=0的解，则a=．

6． 某书城开展优惠售书活动：凡一次性购书不超过200元的一律9折优惠；一次性购书超过200元的，其中200元按9折算，超过200元的部分按8折算.某同学第一次购书付款72元，第二次去购书又享受到了优惠. 他查看所买的书的定价，发现两次共节省了34元，则这名学生第二次购书实际付款元．

7． 已知关于x的方程3m-x+x=m与3x-2=0的解相同，求ｍ的值.

8． 已知a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算：=ad-bc.当=18时，试求x的值.

1. A 2． B 3． C 4． A

5． 86． 204

7． 由 3x-2=0，解得x=.

把x=代入方程3（m-x）+x=ｍ，得3（ｍ-）+1=m.解得m=.

8． 依题意，得10-4（1-x）=18.解得x=3.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。