谈一次函数与二元一次方程的联系

刘　顿

我们知道，一个二元一次方程通过适当的变形，就可以变成一个一次函数的解析式，可见二元一次方程与一次函数虽然有着本质的区别，但它们之间也存在着密不可分的联系.为了帮助同学们学习好二元一次方程与一次函数，现将应掌握的几个要点叙述如下.

一、二元一次方程与一次函数之间的区别和联系

区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数则有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系.

联系：（1）在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上.如方程2x+y＝5有无数组解，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以这些解为坐标的点（1，3），（2，1），…都在一次函数y＝－2x+5的图象上. （2）在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.如在一次函数y＝－x+2的图象上任取一点（－3，3），则x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y＝2的一组解.

所以，以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的.

二、两个一次函数图象的交点与二元一次方程组解的联系

在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点.

三、当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数图象的位置关系

当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点，即两个一次函数图象平行.反过来，当两个一次函数图象平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组3x-y=5，3x-y=-1无解，则一次函数y＝3x－5与y＝3x+1的图象平行，反之也成立.

四、用作图的方法解二元一次方程组

用作图的方法解二元一次方程组，一般有下列几个步骤：（1）将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；（2）在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）找出图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解.

五、利用二元一次方程组确定一次函数的解析式

在实际应用中，常常利用待定系数法构造二元一次方程组，从而确定一次函数的解析式.

例1 某航空公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数.现知王芳带了30 kg的行李，买了50元行李票.李刚带了40 kg的行李，买了100元行李票.那么，乘客最多可免费携带多少千克的行李？

解析：依题意，可设一次函数的解析式为y＝kx+b.则可得二元一次方程组50=30k+b，100=40k+b.解得k=5，b=-100，即一次函数的解析式是y＝5x－100.当x＝20时，y＝0.所以乘客最多可免费携带20 kg的行李.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。