转化思想在梯形问题中的运用

刘少伟

梯形问题常常通过添加辅助线转化为三角形或平行四边形的问题，再利用熟知的三角形或平行四边形知识来解决.添加辅助线的策略有以下几种.

（1）平移一腰（或两腰），即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）.

（2）过顶点作两条高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（图2）.

（3）延长两腰交于一点，把梯形转化为三角形（图3）.

（4）过一腰的中点作辅助线.连接一个顶点与一腰的中点并延长，与一条底边的延长线相交，把梯形转化为三角形（图4）.

（5）平移对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（图5）.

例1（2008年·泰安）如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点.若∠B与∠C互余，则MN与BC-AD的关系是（）.

A. 2MN>BC-AD B. 2MN

C. 2MN=BC-AD D. MN=2（BC-AD）

解析：问题中涉及线段BC与AD的差，若作平行一腰的辅助线，很容易找到BC-AD，但与线段MN无法比较.所以，我们不妨灵活一点，过点M分别作两腰的平行线ME、MF（如图7），容易知道四边形ABEM、DCFM均为平行四边形，从而有BE=AM=MD=FC.又BN=NC，故EN=NF，且EF=BC-AD.又∠MEN+∠MFN=∠B+∠C=90°，则∠EMF=90°.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，2MN=EF= BC-AD，故选C.

评析：由于本题是选择题，故也可以用特殊值法解，设∠B=∠C=45°，易知答案为C.

例2（2008年·青岛）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC， 对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=2 cm，则梯形ABCD的面积为（）cm2．

A． 3 B． 6 C． 6 D． 12

解析：如图8，分别过点C、D作CF⊥AB于F，DE⊥AB于E.

因对角线AC平分∠BAD，则∠DAC=∠BAC=∠DCA，AD=CD=2 cm.BC=2 cm.

在Rt△DEA与Rt△CFB中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可知AE=BF=1 cm，故DE= cm.

∴S梯形ABCD=（CD+AB）·DE=3 cm2，故选A.

评析：当题目中出现平行线与角平分线时，要注意会有等腰三角形出现.

例3（2008年·威海）如图9所示，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥DC，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．猜想EF与BD的位置关系，并说明理由.

解析：观察图形，容易猜想EF∥BD.如何说明理由呢？如图10，连接AC交EF于K，根据折叠的意义容易发现K为AC的中点.若将对角线BD平移到CH的位置，在△ACH中，只要说明点E是AH的中点，由三角形中位线定理，便可得解.

过点C作CH∥BD，CH交AB的延长线于点H.连接AC，AC交EF于点K，则AK=CK.

因AB∥DC，四边形BHCD是平行四边形，故BH=CD，BD=CH．

因AD=BC，故 AC=BD=CH.

因CE⊥AB，故AE=EH.

所以EK是△AHC的中位线．

所以EK∥CH.从而EF∥BD．

评析：本题也可以这样思考（尽量利用折叠的特性）.因∠AEC=90°，由折叠的性质知∠AEF==45°.又AE=CE，Rt△AEC等腰，故∠EAC=45°.因梯形ABCD等腰，故易知∠DBA=∠CAB=45°.故∠AEF=∠ABD，EF∥BD.

例4（多选题）（2008年·黄冈）如图11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°.E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD.则下列结论中正确的有（）.

A. ∠ADE=∠CDE B. DE⊥EC

C. ∠AED=∠BEC D. CD=AD+BC

解析：延长DE交CB的延长线于点F，如图12.由ED平分∠ADC，可得∠ADE=∠CDE，故A成立.由AD∥BC，ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，可得∠CDE+∠DCE=（∠ADC+∠BCD）=×180°=90°，故∠DEC=90°，即DE⊥EC.又∠CDF=∠ADE=∠DFC，故CD=CF.根据等腰三角形的三线合一性质，知E是DF的中点，进一步可证△BEF≌△AED，BF=AD，CD=CF=BF+BC=AD+BC，故B、D都正确.C错误.综上，正确的有A、B、D.

评析：本题有平行线和角平分线，利用了等腰三角形.

跟踪练习： 1. 在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5 cm，BD=12 cm，则梯形中位线的长为（）.

A． 7.5 cmB． 7 cmC． 6.5 cmD． 6 cm

2. 如图13，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD.DE∥AC，DE交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．求证：AB=DC.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。