点击“角的比较与运算”

毛春松

如何学会学习？学习方法很重要！下面请毛老师就角的比较与运算方面的知识，帮我们梳理一下吧.

一、点击重点知识

1.角的大小比较.

与比较两条线段的长短类似，比较两个角的大小也有两种方法.（1）度量法：用量角器量出角的度数，按角的度数的大小比较角的大小.（2）叠合法：把两个角叠合起来，使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合的这条边的同旁，然后根据另一边的不同位置关系，分三种情况总结出两角的大小关系.细心的同学是不是已经发现了角的大小比较与线段的长短比较之间的联系了呢？

2.角的平分线.

在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.

数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似.”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其他一些属性也有相似之处，这是学习数学概念、性质等常用的方法.

研究线段的中点及线段的和、差与研究角的平分线及角的和、差，其方法都很相似，学习时把它们进行对比，学习效果会更好.如，“点M是线段AB的中点”，写成AM=MB=AB，同学们可以仿照线段中点的表示方法，写出OB是∠AOC的平分线的表达式∠AOB=∠BOC=∠AOC，从而更好地理解和掌握角的平分线知识.

另外，同学们在学习角平分线时，应掌握折一个角的平分线的方法：在一张纸上画一个角并剪下，将这个角对折，使其两边重合，折痕与角两边所成的两个角大小相等，此时折痕所在射线（射线的端点是角的顶点）就是这个角的平分线.

3.余角和补角.

如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角.如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.

学习时要注意：余角和补角是指两个角之间的数量关系，而与它们之间的位置关系无关.另外，三个角或三个以上的角不叫余角或补角.

二、点击注意事项

1．要注意正确理解角的有关概念.

几何学习的一个重要目标就是培养同学们把“文字语言”翻译成“符号语言”的能力.同学们在平时的学习中一定要重视对概念的理解和掌握.

比如，如果∠AOB=2∠AOC，那么OC是∠AOB的平分线吗？由于没有充分地理解角平分线的定义，很多同学会认为OC是∠AOB的平分线.实际上，OC不一定是∠AOB的平分线.角的平分线有三种描述方式（如图1）：①OC是∠AOB的平分线；②∠AOC=∠BOC=∠AOB；③∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.实际上，如果∠AOB=2∠AOC，并且OC在∠AOB的内部，那么OC才是∠AOB的平分线.

2.数学学习要与实际相结合.

运用数学知识解决实际问题，体现了数学的应用价值.由于同学们平时的数学学习往往会脱离生活实际，所以在解决问题时，不能主动尝试从数学的角度，运用所学的知识和方法，来寻求解决问题的策略.

比如这个问题：时钟钟面上，求4时10分的时候时针与分针的夹角.

解决这个问题时，很多同学得出这个错误结果：夹角是120°-60°=60°.为什么会出现这个错误结果呢？是因为这些同学忽略了分针转动的同时，时针也在转动！在钟面上，时针、分针转动一周分别经过12大格、60小格.因此，每小时时针转动=30°，每分钟时针转动=0.5°，每分钟分针转动=6°.在这个问题中要先找到三个角的大小，即4时整时针与分针的夹角是120°，从4时到4时10分，时针旋转了5°，分针旋转了60°，然后根据角的和、差关系，就可以求出此时时针与分针的夹角，即120°+5°-60°=65°.

三、点击中考热点

这部分内容中考命题方向：注重考查角的和、差的关系和角平分线、余角、补角等几个知识点，这几个知识点经常与其他知识点综合出现在中考解答题中，有时也以选择题和填空题的形式出现.

例如图2，AB∥CD，∠C＝65°，CE⊥BE，垂足为E，则∠B的度数为.

解析：由AB∥CD，得∠EAB=∠C=65°.又∠EAB+∠B=90°，所以∠B=25°.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。