四法五图解三角形相似问题

郭杏好

对应角相等、对应边成比例的三角形是相似三角形．相似三角形的本质特征是“形状相同”但大小不一定相等．相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）．若△ABC与△A′B′C′的相似比是k１，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则k１＝ ．相似三角形有一个重要的性质——传递性：如果△ABC∽△A１B１C１，△A１B１C１∽△A2B2C2，那么△ABC∽△A2B2C2．

判定两个三角形相似常用的“四法”是：

（1） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．（相似三角形判定的预备定理）

（2） 两角对应相等的两个三角形相似．

（3） 三边对应成比例的两个三角形相似．

（4） 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．

“五图”是指5个常见的三角形相似的基本图形.

在图1中，△ADE∽△ABC；在图2中，△ABO∽△A′B′O；在图3中，△ABC∽△AED；在图4中，△ABC∽△ADB；在图5中，△ABC∽△ACD∽△CBD.

例1 小明要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架三边为30 cm，40 cm，50 cm，而另一个三角形框架现在只有一条60 cm的木条，小明应该再找两根多长的木条呢？

解：设另两根木条分别长x cm，y cm，x≤y.

若60 cm和30 cm木条为对应边，则 = = .

解得x=80（cm），y=100（cm）.

若60 cm和40 cm木条为对应边，则 = = .

解得x＝45（cm），y＝75（cm）．

若60 cm和50 cm木条为对应边，则 = = .

解得x＝36（cm），y＝48（cm）．

注：解此题的关键是弄清60 cm的木条和已知框架三边中的哪条边是对应边.有三种可能性，因此需分类讨论.这道题重在体现分类讨论的数学思想．

例２ 如图6，△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的点，连接DE并延长，交AC的延长线于F，若BD∶DE＝AB∶AC．求证：△CEF是等腰三角形．

分析： 由已知AB∶AC＝BD∶DE，结合图形容易看出，若过点D作DG∥AF，交BC于G，可构造多组三角形相似的基本图形，则AB∶AC＝BD∶DG，所以DG＝DE，从而可证CF＝EF．

证明：过点D作DG∥AF，交BC于G.显然△ABC∽△DBG.

所以 = ，

由 = ，可知DE=DG.

由DG∥CF，可得△CFE∽△GDE．

所以 = .

因此CF＝EF．即△CEF是等腰三角形．

例３ 图7是一个直角三角形，∠B=90°.请设计三种不同的方法，将这个直角三角形分成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似．（两种分法中，只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法）

分析： 一是要利用相似三角形的基本图形；二是要利用相似三角形的传递性.

解：分法如图8.图8（1）中，D是AC边的中点，DE⊥BC，DF⊥AB.图8（2）中，BD⊥AC，DF∥AB，DE∥BC.图8（3）中，BD⊥AC，DE⊥BC，EF⊥AC.

责任编辑/赵良河

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