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2008-12-23杨大为

中学生数理化·中考版 2008年12期
关键词:多边形四边形考点

杨大为

一、知识解读

1. 相似图形 形状相同、大小不一定相同的图形,叫做相似图形.

2. 相似多边形 对应角相等、对应边成比例的两个多边形,叫做相似多边形.

相似多边形的定义也是判定两个多边形相似的重要依据.

3. 成比例线段 对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即 = (或a∶b=c∶d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.

4. 相似三角形的定义 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似比,也叫相似系数,通常用字母k表示.全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形.

5. 相似三角形的判定方法 三角形相似的判定方法和三角形全等的判定方法类似,角相等不变,只是将“对应边相等”改为“对应边成比例”.

二、考点例析

◆◆考点1:相似形的性质◆◆

例1 (2008年诸暨市)已知A,B,C,D各点的坐标如图1所示,E是DE和AC延线的交点,若△ABC和△ADE相似,则E点的坐标是 .

解析: 将点的坐标转化为三角形的边长,利用相似三角形的性质,容易求得E(4,-3).

例2 (2008年重庆市)若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则S△ABC ∶ S△DEF为().

A. 2∶3 B. 4∶9 C.∶D. 3∶2

解析: 直接考查相似三角形最基本的性质,面积比等于相似比的平方.选B.

◆◆考点2:相似形的识别◆◆

例3 (2008年安徽省)如图2,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,R为DE的中点,BR分别交AC,CD于点P,Q.

(1) 请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外).

(2) 求BP ∶ PQ ∶ QR.

解析: (1) △BCP∽△BER,△PCQ∽△PAB,△PCQ∽△RDQ,△PAB∽△RDQ.

(2) ∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,

∴BC=AD=CE,AC∥DE,所以 = = .

由△PCQ∽△RDQ,DR=RE,可得 = = = .

所以QR=2PQ.BP=PR=PQ+QR=3PQ.

∴BP ∶ PQ ∶ QR=3∶1∶2.

◆◆考点3:相似形的实际应用◆◆

例4 (2008年陕西省)阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达).他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.

(1) 所需的测量工具是: .

(2) 请在图3中画出测量示意图.

(3) 设树AB的高度为x m,请用所测数据(用小写英文字母表示)求出x.

解析: (1) 皮尺、标杆.

(2) 测量示意图如图4.

(3) 如图4,测得标杆DE = a m,树的影长AC = b m,标杆的影长EF = c m.

由△DEF∽△BAC,可得 = .

即 = .解得x= (m).

◆◆考点4:图形的放大与缩小◆◆

例5 (2008年宁德市)如图5,在每个小正方形的边长都为1的网格中,有形如帆船的图案①和半径为2的⊙P.

(1) 将图案①平移,使A点平移到点E,画出平移后的图案.

(2) 以点M为位似中心,在网格中将图案①放大2倍,画出放大后的图案,并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD.

(3) 在(2)所画的图案中,线段CD被⊙P所截得的弦长为 .(结果可保留根号)

解析: (1) 平移变换是全等变换,只改变位置,不改变大小和形状.平移后的图案如图6.

(2) 位似变换只改变图形的大小,不改变图形的形状.放大后的图案如图6所示.

(3) 线段CD被⊙P所截得的弦长为2 .

◆◆考点5:相似形的综合应用◆◆

例6 (2008年苏州市)如图7,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5,AD=6,BC=12,动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动.两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动.

(1) 梯形ABCD的面积等于 .

(2) 当PQ∥AB时,P点离开D点的时间等于 .

(3) 当P,Q,C三点构成直角三角形时,求P点离开D点的时间.

解析: (1) 36. (2) s.

(3) 当P,Q,C三点构成直角三角形时,有两种情况.

① 如图8,当PQ⊥BC时,设P点离开D点x s.

作DE⊥BC于E,则PQ∥DE.

∴ = , = .解得x= (s).

② 如图9,当QP⊥CD时,设P点离开D点x s.

显然△QPC∽△DEC.

∴ = , = .解得x= (s).

综上所述,当P,Q,C三点构成直角三角形时,点P离开D点s或s.

(2008年肇庆市)如图10,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A,B,D三点,CB的延长线交⊙O于点E.

(1) 求证AE=CE.

(2) EF与⊙O相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2 cm,求⊙O的直径.

(3) 若 =n(n>0),求sin∠CAB.

答案或提示:(1) 连接DE,证明DE是AC的垂直平分线. (2) AE=2cm. (3) sin∠CAB= .

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

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