中考试卷中的投影问题

房延华

投影是中考必考内容,一般题型比较灵活,贴近现实生活.下面举例说明.

一､与中心投影有关的计算题

例1 (2008年聊城市)如图1,路灯(P点)距地面8 m,身高1.6 m的小明从距路灯底部(O点)20 m的A点,沿OA所在的直线行走14 m到B点时,身影是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?

解析: 如图1,设MA和NB是小明在相应点的影长.易知△MAC∽△MOP,△NBD∽△NOP.所以 = , = .代入已知数值,可得

= , = .

解得MA=5(m),NB=1.5(m).

所以,小明的身影变短了3.5 m.

例2 (2007年荆门市)如图2,不透明圆锥体DEC放在水平面上,在A处灯光照射下形成影子.设BP过底面圆的圆心,已知圆锥体的高为2m,底面半径为2 m,BE=4 m.

(1) 求∠B的度数.

(2) 若∠ACP=2∠B,求光源A距水平面的高度.(答案可用含根号的式子表示)

解析: (1) 如图2,圆锥的高DO=2 m.

在Rt△DOB中,OB=BE+EO=4+2=6(m).

∴tanB= = = .所以∠B=30°.

(2) 过点A作AF⊥BP,垂足为F.

由∠B=30°,可得∠ACP=2∠B=60°.

由∠ACP=∠B+∠BAC,得∠B=∠BAC.故AC=BC=BE+EC=8(m).

在Rt△ACF中,AF=AC·sin∠ACF=8sin60°=4 (m).

故光源离地面的高度为4 m.

二､与平行投影有关的计算题

例3 (2008年鄂州市)如图3,教室窗户的高度AF为2.5 m,平行于地面的遮阳篷外端一点D到窗户上沿的距离为AD.某一时刻太阳光从窗户射入教室内,光线与地面的夹角∠BPC为30°,PE为光线穿过窗户在教室地面所形成的光影,且长为m,求AD的长度.(结果可带根号)

解析: 已知∠BPC=∠D=30°,故欲求AD,可考虑先求AB.由PE= ,考虑过点E作EG∥AB交PD于G点.在Rt△EGP中,利用正切函数可求出EG,而BF=EG,从而可求出AB的长.

EG=EP·tan30°= × =1(m). BF=EG=1 m.

所以AB=AF-BF=2.5-1=1.5(m).

在Rt△ABD中,AD= = =(m).

三､与平行投影和中心投影有关的作图题

例4 (2008年兰州市)(1) 一木杆按如图4(1)所示的方式直立在地面上,请在图中画出它在阳光下的影子(用线段CD表示).

(2) 图4(2)是两根标杆及它们在灯光下的影子.请在图中画出光源的位置(用点P表示),并在图中画出人在此光源下的影子(用线段EF表示).

解析: (1) 过木杆的顶端作一条与已知光线平行的直线,交地面于一点,连接这点与木杆底端的线段就是木杆的影子(如图5中CD).

(2) 如下页图6,过一标杆的顶端及其影子的顶端作一条直线,再过另一标杆的顶端及其影子的顶端作一条直线,两直线的交点P就是光源的位置.点P是影子的光源,EF就是人在光源P下的影子.

例5 (2008年鹤岗市)(1) 图7是同一时刻的两棵树及其影子,请你在图中画出形成树影的光线,并判断它是太阳光还是灯光的光线.若是灯光的光线,请确定光源的位置.

(2) 请判断图8所示的两棵树的影子是在太阳光下形成的,还是在灯光下形成的,并画出同一时刻旗杆的影子.(用线段表示)

解析: 分别过树的顶端及其影子的顶端作两条直线作为光线.若两条直线平行,则是太阳光线;若两条直线相交,则是灯光光线.其交点就是光源的位置.

(1) 图7是灯光的光线.如图9,过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线,再过另一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线,因为两直线相交,所以是灯光.两线的交点A就是光源的位置.

(2) 如图10所示,过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线,再过另一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线,因为两直线平行,所以影子是在太阳光下形成的.过旗杆的顶端作一条与树影光线平行的直线,交地面于一点,连接这点与旗杆底端的线段就是旗杆的影子.

责任编辑/冯 琦

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