巧用圆锥曲线定义解题

吴英子

在解题过程中学生往往对数学定义未加重视，以至于在解题时不能及时地发现一些促进问题迅速获解的隐含条件，造成运算繁杂的情况，因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法.圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，实际问题中，许多与圆锥曲线上的点到焦点距离相关的问题若考虑定义则常有事半功倍之效.下面举几例加以说明.

一、利用定义求轨迹

例1 已知△ABC的两个顶点坐标是A(-4，0)，B(4，0)，周长为18，求顶点C的轨迹方程.

解：由题意|CA|+|CB|=18-8=10.由椭圆定义知点C的轨迹是以A(-4，0)，B(4，0)为焦点，长轴长为10的椭圆除去两点(±5,0),其轨迹方程为x225+y29=1(y≠0).

例2 F1、F2是双曲线的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从某一焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为().

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

解：如图1，从F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，并延长F2P交QF1于M，则由已知|QF2|=|QM|，连结OP，∵P，O分别为F2M、F1F2的中点，∴|OP|=12·|F1M|,