研究高考试题的几点方法
2008-12-09刘成龙余小芬
刘成龙 余小芬
高考是我国现行的一种最为重要的选拔性考试，其重要性是不言而喻的.高考试题设计新颖，构思巧妙，集中体现了命题专家的智慧，是我们学习的典范.研究高考，研究高考试题，探求命题者的思维过程，不仅体现了数学美，更是复习备考中有的放矢的最佳途径.纵观历年高考试题，不乏有一批体现新课程理念的背景公平、情景新颖、富含思想方法的优秀试题.笔者认为这些好题不仅是当年高考中的一道亮丽的风景，而且在未来几年乃至十几年也具有重要的教学和研究价值，同时这些试题的转化、延伸和推广往往是再次命制高考试题的重要取材.高中一线的数学教师们将这些试题作为高考复习的例题或研究性学习的材料，既能避免题海战术，又能取得预期甚至超预期的效果!因此，数学教师们在学习“考试大纲”和“考试大纲的说明”的同时，需要深入研究高考试题，认真把握高考动态，领会命题改革的精神.如何有效地进行高考试题的研究是摆在教师们面前的一大问题.笔者结合教学实践，就新课程标准指导下对如何研究高考试题作了一番探索，提出了研究高考试题的几点方法：研究试题的立意、试题的解法、试题的背景和试题的拓展，以飨读者!
1 研究试题的立意
试题是知识和能力的载体，它体现着考试的目的和内容.试题的立意是指命题者在命题时考查学生所站的角度，它是命题者命题思维过程的开端，是整个思维过程中最为关键的一个环节，不仅决定考查内容的方向、难度以及呈现方式，而且引领着命题思维的后续发展，起到了舵手的作用.试题立意的角度很多，比如考查数学思想方法(如函数与方程的思想，化归与转化的思想)；考查数学能力(如运算能力，探究和猜想的能力，空间想象的能力)；考查新课程理念(如数学的应用意识，数学的人文价值和数学思维能力)；优化设问，凸显区分度等等.近年来，数学学科命题把“以能力立意为指导，以考查能力和素质为导向”作为命题的一条基本原则，高考数学试题逐渐形成了以“立意鲜明，背景新颖、设问灵活，层次清晰”的新特色，这不仅体现了试题立意的新颖性，公平性，而且有效地考查了学生现阶段能力，同时又甄别了学生学习的潜能，这有利于中学素质教育的实施和为大学创新人才的选拔.因此，把握试题的立意不仅是透过题目表层意义把握试题本质的过程，更是再现命题者思维智慧的过程.
例1(2005年高考数学全国卷Ⅰ(理)第22题) (Ⅰ)设函数f(x)=x玪og2x+(1-x)•┆玪og2(1-x)(0 (Ⅱ)设正数p1,p2,…,p2琻满足p1+p2+p3+…+p2琻=1，证明：p1玪og2p1+p2玪og2p2+p3玪og2p3+…+p2琻玪og2p2琻≥-n. 该题目是2005年全国卷Ⅰ(理)解答题中的压轴题.以下从四个方面分析命题者的立意. 立意1：突出主干知识的考查.在遵循符合教学大纲和命题原则的前提下，命题者设置了以函数为载体考查导数、不等式、数学归纳法等高中基本知识和高考主干知识. 立意2：重视考查数学思想方法.在编制试题时命题者很注重考查学生对数学思想和方法的掌握，如第(Ⅱ)小题在运用数学归纳法证明的关键步骤是把2﹌+1项向2琸项的转换，这考查了分类与整合、化归与转化的思想等.所涉及的方法都是通性通法，且不偏不繁，又如第(Ⅰ)小题考查了导数法，第(Ⅱ)小题常规解法是数学归纳法，这也体现了“加强基础”的教学指导思想. 立意3：突出考查能力.该题考查了学生的运算能力、逻辑推理能力和自主探索能力.这体现了“培养能力，发展智力”的教学指导思想，如第(Ⅱ)小题运用数学归纳法求解时需要学生有较好的运算能力；由归纳假设中的n=k到n=k+1时需要学生认识项数由2琸到2﹌+1项的变化，同时将2﹌+1项化成2﹌项也是一个难点，这考查了学生的逻辑推理能力；由2﹌+1项化成2琸项需要充分利用第(Ⅰ)小题的结论，涉及一个探索的过程，充分考查了学生的自主探索能力和应用意识. 立意4：优化设问，凸显区分度.通过对试题的分析，我们可以体会到命题者在命制第(Ⅰ)问时有意降低了试题的难度，试想如果把第(Ⅰ)问改为：“已知x,y>0且x+y=1求x玪og2x+y玪og2y的最小值.”我们相信该题的得分率会有所降低，尽管改编后的问题与原问题考查的内容在本质上是一致的，但由于形式的改变为学生设置了一定的思维障碍.因此，命题者以“设函数f(x)=x玪og2x+(1-x)玪og2(1-x)(0 不难看出，把握试题的立意对深入理解试题的本质是非常重要的.殷此，教师在教学和研究中要深刻把握一些高考试题的立意，进而体验命题者思维智慧的过程，特别是高三复习阶段，这样能使复习工作更具有针对性、高效性，收到事半功倍的效果. 2 研究试题解法 数学家曾说过“问题是数学的心脏”.美国数学家 玃.R.Halmos 也曾认为“数学家存在的主要理由是解问题，数学的真正组成部分是问题和解”.可见数学问题和问题的解决在数 学活动中非常重要.在数学活动中数学问题是数学研究的对象，而解决问题不仅是数学研究 的目标，同时也是数学活动的最基本形式和主要内容，在数学活动中起着不可替代的作用：它是数学学习的核心内容，是掌握数学、学会数学地思维的基本途径，是评价学习的重要方式.正如 獹.Polya 在《数学的发现》序言中说“中学数学的首要任务就是加强解题训练”，同时 獹.Polya 还曾说过“掌握数学就意味着善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和有发明创造的题.”由此可见，解题研究在数学活动中占有十分重要地位.对高考试题的解法研究一般可以从一题多解，多题一解入手.一题多解指的是对一道试题所涉及内容从横向和纵向进行把握，立足于不同的角度，运用不同的方法进行探讨，进而获得多种解法.多题一解是指将形式不同，但将考查问题的本质或求解思路类似的问题归于一类解决方式，通过联想、类比、归纳、概括，从本质上去认识问题，找出这类问题的共性和解答规律.从某种角度讲，多题一解和一题多解实质上是从经纬两个不同的方面沟通各部分知识内在联系.在近年高考试题中有许多经典题目都是一题多解和多题一解的好素材，请看下面几例：
2.1 一题多解
例2 设函数f(x)=(1+1n)瑇(n∈N,且n>1,x∈R)，(Ⅰ)略；(Ⅱ)略；(Ⅲ)是否存在a∈N，使得an<∑nk=1(1+1k)琸<(a+1)n恒成立?若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由.
上题是2007年全国高考数学四川卷(理)第22题，该题属于四川卷中的压轴题.笔者将从不同的角度探讨该题的解法.
解法1：利用二项式定理和组合数计算公式证明
对m∈N，且m>1,有(1+1m)琺=C0璵+C1璵(1m)+C2璵(1m)2+…+C琺璵(1m)琺=2+12!(1-1m)+…+1k!(1-1m)(1-2m)…(1-k-1m)+…+1m!(1-1m)(1-2m)…(1-m-1m)<2+12!+13!+…+1k!+…1m!<2+11×2+12×3+…+1k×(k+1)+…+1(m-1)m=2+(1-12)+(12-13)+…+(1m-1-1m)=3-1m<3，又因为C琸璵(1m)琸>0(k=2,3,…,m)，故2<(1+1m)琺<3，又因为k=1时，2≤(1+11)1<3,所以2n<∑nk=1(1+1k)琸<3n，即存在a=2，使得an<∑nk=1(1+1k)琸<(a+1)n.
解法2：利用均值不等式证明
因为n13=n613•613…613•1…1(n-6)个1≤n-6+6613n(n≥6)，又有6613<5，于是n13≤n-6+6613n
解法3：利用贝努利不等式证明
贝努利不等式是《普通高中数学课程标准(实验)》选修课程系列4不等式选讲的内容，利用贝努利不等式求解很方便.
由贝努利不等式得(1+1n)琻>1+n•1n=2.下证(1+1n)琻<3.在(1+x)琻>1+nx中，令x=-16n+1，得(1-16n+1)琻>1-n6n+1>1-n6n=56,得(6n+16n)琻<65，即(1+16n)琻<65.又由解法2可以知道{(1+1n)琻}是单调递增的，于是(1+1n)琻<(1+16n)6n=(1+16n)琻6<(65)6<3，即(1+1n)琻<3，综合可得2<(1+1n)琻<3，于是存在a=2，使得an<∑nk=1(1+1k)琸<(a+1)n.
解法4：巧用不等式的放缩证明
由(1+16n)琻=(6n+16n)琻<5n+15n•5n+25n+1…6n-16n-2•6n6n-1=65,即(1+16n)琻<65，其余步骤同解法3.
评注：解法1运用了二项式定理和组合数计算公式，在证明过程中放缩了3次，要求学生具备灵活放缩不等式的技能，计算量较大，但却是一种最常规的方法；解法2利用高中生熟悉的均值不等式求解，解题的关键是把13改写成6个613的乘积以及在证明不等式(1+1n)琻<(1+1n+1)﹏+1时所进行的巧妙放缩；解法3求解过程简洁，证明过程充分显示了贝努利不等式的威力；解法4证明过程中涉及了不等式的基本放缩，证明过程简捷.从上述四种方法的探讨，不难看出，通过一题多解的训练，不仅能加强各知识间的联系，起到“薄书变厚”的效果，而且能有效的培养学生的学习兴趣和创新能力.同时对教师加深内功，提高解题能力也是非常有用的.
2.2 多题一解
例3 (2006年全国卷Ⅰ(理)第21题)已知函数f(x)=1+x1-xe-ax，(Ⅰ)略；(Ⅱ)若对任意x∈(0，1)恒有f(x)>1，求a的取值范围.
例4 (2006年全国卷Ⅱ(理)第20题)设函数f(x)=(x+1)玪n(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围.
例5 (2007年全国卷Ⅰ(理)第20题)设函数f(x)=e瑇-e-x，(Ⅰ)略；(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围.
上述题目是近年高考中的一些不等式恒成立问题(限于篇幅，这里仅列举三题).不等式恒成立问题是中学数学的重要内容，也是近年高考中的一类热点问题.此类问题知识覆盖面广，综合性强，对学生的思维能力要求较高.纵观历年试题不难发现，不等式恒成立问题往往是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的考点.仔细研究上述题目，可以发现这些题目在形式上，都有这样的结构：“f(x)≥g(x)
(g(x)=c(c为常数)是特殊的一类)”，又因为f(x)≥g(x)恒成立等价于f(x)-g(x)≥0恒成 立，而f(x)-g(x)≥0恒成立等价于［f(x)-g(x)］┆玬in≥0.抓住该类问题的本 质，于是上述问题都可化成［f(x)-g(x)］┆玬in≥0这样的形式解决，从而可以 进行多题一解.可以看出，只要学生找出上面几例的共同之处和解答规律，抓住此类问题的本质，并掌握了其中一题的解法，其余的题目也就迎刃而解了.通过多题一解，不仅培养了学生异中求同的抽象概括能力，巩固了学生对该类题目考察方法本质上的把握，而且也拓宽了学生的视野，加强了知识间的融会贯通，从而有效地避免了“题海战术”，起到了“厚书变薄”的效果.
3 研究试题的背景
命题背景指命题时试题取材的背景.试题取材的背景很多，本文中试题的命题背景主要指的是研究试题是否含有高等数学背景.高等数学背景指命题者命制试题时立足并取材于大学数学知识，使得试题隐含或直接含有高等数学相关知识.高考考查学生对中学阶段所涉及知识点的理解和把握，因此命题范围是中学教学大纲和考试大纲中的内容.然而近年来随着自主命题的省份越来越多，参加命题的大学教授和数学专家成为了命题的核心力量，他们非常重视高中知识与后续课程的衔接，因此在符合教学大纲和考试大纲的要求下，往往每年都会有一部分含有高等数学背景的高考试题，比如2007年高考仅四川卷中：理科11题有高师院校《初等几何研究》中用旋转变换法作图的背景；12题有近世代数中列表运算的背景；理科21题具有计算数学中用牛顿迭代法求方程近似实根的背景等等.尽管学生对一些试题的背景不了解，但仍可运用中学知识得以求解，比如：2007年四川卷(理)22题含有重要极限的背景，而学生可以运用二项式展开式求解；2006年四川卷(理)22题含有凸函数的背景，而学生可以运用基本不等式放缩求解；2006年四川卷(理)第16题含有抽象代数中群的背景，而学生只需理解“融洽集”的含义即可得出正确答案等等.因此，学生只要把握题目考查内容的本质，学会灵活运用相关知识，解决这类问题也并非难事，但作为一名中学数学教师应该具有较为扎实的高等数学功底，应该具有居高临下的意识.最近，张奠宙先生也指出：“在日常的中学数学教学中，能够用高等数学的思想、观点、方法去解释和理解中学数学问题的例子很多.重要的是，作为一名数学教师应该具有这样的思维和意识.”事实上，也只有这样才能深刻理解一些数学问题的来龙去脉，才能搞好中学数学的教学和研究工作.
例6 (2006年四川卷(理)第22题) 设f(x)=x2+2x+a玪n玿(x>0),x1,x2∈R+,x1≠x2,求证：(1)当a≤0时，f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22).
经过分析不难发现该试题含有凸函数的高等数学背景.凸函数是这样定义的：设f(x)为定义在区间I上的函数，若对I上任意两点x1,x2和任意实数λ∈(0，1)，总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f(x)为I上的凸函数.在近几年高考中以凸函数为背景的试题是比较多的，比如2005年全国卷Ⅰ(理)22题、2005年湖北卷(理)第6题等等.
例7 (2006年全国卷(理)第21题)(见例3).
该题目第(2)问含有拉格朗日中值定理的高等数学背景.拉格朗日中值定理是这样定义的：若函数f满足如下条件：f在闭区间［a,b］上连续；在区间(a,b)上可导，则在(a,b)内至少存 在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).
例8 (2006年福建卷(文)第21题)设ゝ(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0，5)，且f(x)在区间［-1，4］上的最大值是12.(1)略；(2)是否存在实数m，使得f(x)+37x=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等实数根?若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由.
经过仔细研究不难发现该题目具有根的存在性定理的高等数学背景.
根的存在性定理 若函数f在闭区［a,b］上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0)，则至少存在一点x0∈(a,b)，使得f(x0)=0，即方程ゝ(x)=0在(a,b)内至少有一根.特别当f(x)在(a,b)内为单调函数时，方程ゝ(x)=0在(a,b)内有且仅有一根.
纵观历年高考试题，可以看出以高等数学为背景的题目在高考中是很多的，并且还有进一步升温的倾向，当然这也是高考试题的一大亮点.从而我们可以预测会有更多的题目含有高等数学背景.因此，笔者建议高中教师要熟悉高等数学中与初等数学相关的内容，加强对高等数学和初等数学知识交叉点的研究性学习，不断调整和优化知识结构，完善知识体系.同时，希望教师们在阅读一些高等数学书籍时，不要忽略对一些知识来龙去脉的把握，以至于知其然而不知其所以然，从而避免犯一些粗俗的错误.
4 研究试题拓展
试题的拓展是指立足于不同的角度对一些试题进行探究，通过对试题转化、延伸和推广等加 以改编，从而得到新试题.实践证明改编后的新问题往往是引导学生进行研究性学习的重要材料，不仅有利于培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生在探究能力和创新能力上得以发展，从而调动学生自主构建学习的积极性.同时，高考试题的转化、延伸和推广往往是再次命制高考试题的重要取材，比如：类比2005年全国卷Ⅱ(理)第21题编制了2007年全国卷Ⅰ(理)第21题，经过改编2006全国卷Ⅱ(理)第4题命制了2008年四川卷(文)第4题等等.改编试题的常见方法有：加强或减弱题目的条件，如将题目推广到更一般的情形；将题目的条件或结论中的某些数值用字母代换，增加元的个数或提升“元”的次数；去掉试题的结论，使之成为探索性问题，如对一些证明性试题，去掉证明的结论，进而变成探究性问题；加强条件中的数据设置；研究试题的逆命题；改变题目的设问方式；变换试题的背景等等.下面举几例谈谈试题的拓展：
例9 试题见本文例1.
抓住凸函数的本质，对第(Ⅱ)小题可以进行推广，参见文献［3］.
例10 (2006年四川卷(理)第22题)设ゝ(x)=x2+2x+a玪n玿(x>0),x1,x2∈R+.﹛1≠x2,求证：(1)当a≤0时，f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22).(2)当a≤4时，﹟f′(x1)-ゝ′(x2)|>|x1-x2|.
经过研究，笔者对参数a的取值范围进行了加强，参见文献［4］.
例11 (2005年重庆卷(理)第5题)若x,y是正数，则(x+12y)2+(y+12x)2的最小值是().
A.3 B.72 C.4 D.92
该题在形式上是对称的，对该题目结构稍加改造，可以凸显更好的区分度，如下：
改编题1 若x,y是正数，求(x+1y)2+(y+12x)2的最小值.
改编题2 若x,y是正数，求(x+1y)2+(y+k2x)2(k>0)的最小值.
改编题3 若x,y是正数，求(ax+by)2+(cy+dx)2(a,b,c,d>0)的最小值.
从上述几例可以看出，通过对试题的拓展，对开拓学生的视野和加强知识间的融会贯通能起到事半功倍的效果.但值得注意的是改编试题不仅仅是要求“形式新”，更重要的是“内容新”，因此，在试题的拓展时必须抓住问题的本质，进行深加工、细琢磨，切忌生硬、盲目地对一些试题加以粗糙的改编，否则改编收到的结果只能是“新瓶装旧酒”，毫无意义可言.
本文从研究试题的立意、试题的解法、试题
的背景和试题的拓展四个方面提出了研究高考试题的较为系统的方法.希望通过本文的探讨对高中数学教师们在复习备考和研究试题上有所帮助.
参考文献
［1］慧力，吴力宝.2007年高考数学四川卷的特点与启示［J］.天府数学，2008，(6).
［2］波利亚.数学的发现［M］.阎育苏译.北京：科学出版社，1982.
［3］刘成龙，余小芬.2005年全国卷22题的多解和推广［J］.中学数学研究(江西)，2008，(6) .
［4］刘成龙，余小芬.对一道高考试题的再研究［J］.中学数学研究(广州)，2007，(11).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
