欲穷千里目 更上一层楼

蔡飞庆

作为高中数学教师，用高等数学的思想、观点和方法来指导中学数学教学实践，沟通高等数学与初等数学的内在联系，指导学生进行研究性学习，培养学生的探究精神与创新能力，将是新形势下中学数学教学追求的一个新的目标.本文通过对几个案例的分析，谈谈如何用高等数学指导高中数学教学的教学实践.

一、探源追本，拓广视角

在高等数学与初等数学的衔接处，用高等数学知识背景编写的一些不脱离中学实际的高考题已屡见不鲜，故应站在高等数学的高度探析其命题背景和创意，拓广解题视角.

案例1 (2001年高考全国卷20题)已知i,m,n是正整数，且1

(1)证明n琲P琲璵

(2)证明(1+m)琻>(1+n)琺.

背景解析：这是一道融排列、组合、二项式定理、不等式知识于一体的绝妙好题，本源是对数发明过程中研究数列{(1+1n)琻}的性质时所产生的问题.高等数学中有如下结论：数列{(1+1n)琻}单调递增，且(1+1n)琻<3(其中n∈N*)；数列{(1+1n)﹏+1獇单调递减，且(1+1n)﹏+1>2;

编题思维探析：由{(1+1n)琻}单调递增可以推得{(1+n)1n}单调递减，即对正整数m,n(m(1+n)1n，这就是题1第(2)小题 的背景本质；而(1+1n)琻<3的证明过程中体现的逐项对应比较的方法 则可看成是该高考题第(1)小题的由来.

启示：高等数学中有些经典问题的处理方法既是数学的精髓所在，也是学生的数学素养和数学潜能的培养关键所在.作为一名高中数学教师必须具备相当的高等数学功底，才能详解高考试题的来龙去脉，对高考趋势进行展望；才能站在比较高的位置，对学生进行有的放矢的高效教学.

二、激趣陶情，解疑释惑

1.许多高等数学素材往往能引发学生的认知冲突，具有激起激疑的良好功效.因而以高等数学素材熏陶学生，必将有利于教材的合理组织和教学的有效开展.

案例2 (蒲丰投针实验)用尺画一组相距为1的平行线，一根长为12的针扔到画了线的平面上，若跟平行线相交，则称“扔出有利”.这样扔若干次，你会惊奇的发现，“扔出有利”的概率为1π，而且扔的总次数越多，由此得到的π的值越精确.

解析：在概率教学中介绍利用概率知识计算圆周率的方法，既可以使学生经历数学文化的熏陶，感受古代数学家的智慧；也会使学生体验到数学的神奇，激发学习兴趣.

2.中学数学中很多问题或错误，站在初等数学的角度上是很难解决或发现的；倘若能站在高等数学的角度，沟通初、高联系，居高临下释疑，将会更有利于学生深刻领悟数学概念的精髓及其后续发展.

案例3 初学函数时，关于函数图像与周期，学生中往往有这样两个典型错误观点：

①任何函数都有图像；②任何周期函数必有最小正周期.

这时只需介绍高等数学中重要函数——獶irichlet函数，即可轻松解决学生的疑惑.獶irichlet函数是如下定义的函数：

D(x)=1,x为有理数

0,x为无理数

由于实数是稠密的，因此该函数的图像实际上是画不出来的；任意非零有理数都是该函数的周期，而不存在最小正有理数，故獶irichlet函数也无最小正周期.笔者在实际教学中引入了这个容易让学生理解接受的獶irichlet函数，使学生更为深刻的理解到函数相关概念的内涵，获得了良好的教学效果.利用高等数学素材进行难点释疑，原则是不能脱离中学数学的课程标准和教材；在重要概念和知识联系上做必要的拓宽，是教学中介绍高等数学知识应把握的“度”的要求.

三、纵横联系，融会贯通

以高等数学的思想方法来指导初等数学教学，可以统一中学数学的松散体系，对中学数学问题系统地加以思想上的总结和方法论方面的提炼；同时，以高等数学的思想方法来指导总结，可以帮助学生改变综合复习中的“题海战术”，引导学生构建知识网络，从而将头脑中分散的知识点连成有机的知识整体.

案例4 不等式证明是高中阶段的常见数学问题，随着向量、概率等内容进入新教材，利用向量和概率知识证明不等式的相关研究便层出不穷；站在高等数学的角度上反思这些方法，发现它们原来具有某种内在统一性.

(一)向量方法

(1)方法依据：向量内积不等式|a•b遼≤﹟a遼•|b遼及可由此推导的三角不等式|a+b遼≤|a遼+|b遼.

实际形式：若令a=(a1,a2…，a璶),b=(b1,b2…，b璶),即可将内积不等式转化为代数形式(a1b1+a2b2+…+a璶b璶)2≤(a21+a22+…+a2璶)•(b21+b22+…+b2璶),这也是运用向量证明不等式的主要形式.

(2)理论依据：上升到高等数学中内积空间的层面上，|a•b遼≤|a遼•|b遼也可称为“柯西不等式”，证明方法是构造二次函数；在高中数学内容中直接定义了向量内积a•b=|a遼•|b遼•玞osθ，从而利用|玞osθ|≤1立即证得|a•b遼≤﹟a遼•|b遼成立.

(二)概率方法

(1)方法依据：利用概率知识证明不等式主要依据以下两个结论：

①n个数据x1,x2,…，x璶的方差S2=1n∑ni=1(x璱-)2=1n∑ni=1x2璱-1n(∑ni=1x璱)2≥0；

②离散型随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=p璳,k=1,2,…，n，则Eξ2≥E2ξ.

(2)实际形式：研究相关文章不难发现，运用以上两个结论的实际形式分别为：

③已知x1,x2,…，x璶∈R，则n•(x21+x2瓁+…+x2璶)≥(x1+x2+…+x璶)2；

④已知0

而③④不难由(a1b1+a2b2+…+a璶b璶)2≤(a21+a22+…+a2璶)•(b21+b22+…+b2璶)证明，因此可以说是柯西不等式的两个推论.

(3)理论根源:在概率论中，①②实际上是下面定理的特例；⑤柯西—施瓦茨不等式；对任意随机变量ξ，η，有|Eξη|2≤Eξ2Eη2，等式成立当且仅当存在常数t0使P(η=t0ξ)=1.

通过以上总结分析可知，从实际形式、理论根源等方面来说，证明不等式的向量方法和概率方法，与常见的柯西不等式具有内在统一性.在实际教学中，以柯西不等式的反思总结为桥梁，可以沟通新增内容与不等式知识间的联系，实现新、旧知识和思想方法的融合，从而有效促进新增内容的教学和知识网络的构建.

四、梳理归类，挖潜添能

分段函数的构造、递推关系、极限方法的应用、导数的应用、不动点问题、折纸术、函数图像的凸性的一些特性等具有高等数学倾向的问题在高中数学新教材的选修系列中已有所体现，在历年高考中也屡屡出现，对相关的高考题进行梳理归类，用以指导高中数学教学实践，提升学生的学习潜能，增添其解答创新题的能力和理论素养就显得非常迫切.

现仅以高等数学中凸函数为背景的高考题为例，浅谈如何在高中数学中渗透高数知识，挖掘学生的学习潜能和提升学生的创新能力.

案例5 题1：(1994年全国高考题)已知函数f(x)=玹an玿,x∈(0,π2)，且x1≠x2，证明f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22).

题2：(2005年湖北高考题)在y=2瑇,y=玪og2x,y=x2,y=玞os2x这四个函数中，当0f(x1+x22)恒成立的函数个数是().

A.0 B.1 C.2 D.3

追源：高等数学中凸函数的概念：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1,x2和任意实数λ∈(0,1)，总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凸函数；反之，若f(λx 1+(1-λ)x2)≥│薴(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凹函数.当λ∈(0,1)时，λx1+(1-λ)x2表示的点在x1,x2之间.高中课本中出现的问题只不过是λ=12的情形.

实践：在函数的教学中，讲到指数函数、对数函数、幂函数、三角函数时可结合函数的图像渗透凹凸函数的图像特征，让学生通过函数图像认识接受高等数学中凸函数定义的外在表象.

如图：记A(x1,f(x1)),B(x1+x22,ゝ(x1+x22)),狢(x1+x22,f(x1)+f(x2)2),〥(x2,f(x2)).在图1中，f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2.教学实践中，先让学生理解上

述两个图像的意义，再简单介绍图像下凹的简称为凹函数，图像上凸的简称为凸函数.让学生从凹凸函数的图像特征着手，深刻记忆凹凸函数f(x1+x22)鹒(x1)+f(x2)2的外在表象.至于凹凸函数的具体定义则不需要引入，也没必要讲解.这样既能渗透高数知识，提升学生的学习潜能；又能让学生碰到相似情境的问题时不至于无从下手.

综上所述，作为高中数学教师，用高等数学的思想、观点和方法来指导中学数学教学实践，沟通高等数学与初等数学的内在联系，指导学生进行研究性学习，培养学生的探究精神与创新能力，应该是新形势下激活中学数学教学的一条有效途径.

参考文献

［1］董裕华.高等数学背景下的高考数学命题探析.中学数学杂志，2007，(4).

［2］任念兵.高等数学背景下的高考不等式问题.数学教学研究，2006，(3).

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”