由一道高中数学联赛题得到的一个关系式

林新建

题目 (1982年全国第二届高中数学联赛)：已知：(1)半圆的直径AB长为2r；(2)半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为点T，|AT|=2a(2a

分析：由题设|MP||AM|=|NQ||AN|=1知，动点M、N到定点A与到定直线l的距离相等，所以M、N的轨迹是以定点A为焦点，定直线l为准线的抛物线.本文将结论推广到一般的圆锥曲线，得到如下一个有趣的统一性质.

定理 设圆锥曲线E的焦点为F，在对称轴上F的一侧取点A，以FA为直 径作圆C与曲线E在对称轴上方部分交于M、N两点，则|FM|+|FN||FA|=1e(其中e为圆锥曲线的离心率).

证明：以圆锥曲线过焦点F的对称轴所在直线为x轴，F为坐标原点建立直角坐标系.设焦点F到相应准线l的距离为p，则得F(0，0)，准线l的方程为x=-p.

设P(x,y)为圆锥曲线上一点，它到准线l的距离为d，则由题设及圆锥曲线统一定义得|PF|d=e輡PF|2=d2e2輝2+y2=e2|x+p|2.

化简得圆锥曲线方程为(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,设圆C的半径为R，则圆心C为(R，0)，圆C的方程为(x-R)2+y2=R2.

将圆C方程与曲线E的方程联立，消去y得x2+2(p-Re2)x+p2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2(p-Re2).从而|FM|+|FN|=e(x1+p)+e(x2+p)=e(x1+x2+2p)=2Re,所以|FM|+|FN||FA|=2Re2R=1e.

当曲线分别为椭圆、双曲线、抛物线时，我们得到如下三个性质.

性质1 如图1，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左(右)焦点为F，在x轴上F的右(左)侧有一点A，以FA为直径作圆C与椭圆E在x轴上方部分交于M、N两点，则|FM|+|FN||FA|=1e(其中e为椭圆的离心率).[LM]性质2 如图2，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右(左)焦点为F，在x轴上F的右(左)侧有一点A，以FA为直径作圆C与双曲线E在x轴上方部分交于M、N两点，则|FM|+|FN||FA|=1e(其中e为双曲线的离心率).性质3 如图3，抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径作圆C与抛物线E在x轴上方部分交于M、N两点，则|FM|+|FN||FA|=1e(其中e为抛物线的离心率).

显见，对抛物线而言，e=1，所以本文开头的试题，就是性质3的一个等价形式.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”