例析一次函数新定义题

唐耀庭

近年中考中，屡屡出现新型试题——新定义型问题.此类题目以“新定义”为呈现形式，要求学生按新定义操作或写出操作步骤.学生需多角度、多层次、多侧面地运用数学思想方法分析和解决问题.这类试题新颖别致，颇具魅力，成为近年中考中的奇葩.现以一次函数中考试题为例加以说明.

例1（2007年·浙江）设有关于x的一次函数y=a 1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）为此两个函数的生成函数．

（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值；

（2）若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P，判断点P是否在这两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．

解：（1）两个函数的生成函数为y=m·（x+1）+n·（2x），其中m+n=1.当x=1时，y=m·（1+1）+n·（2×1）=2m+2n=2（m+n）.

∵m+n=1，∴y=2．

（2）点P在这两个函数的生成函数的图象上.

设点P的坐标为（a，b）.

由题设，有a1·a+b1=b，a2·a+b2=b.

对于生成函数y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2），当x=a时，y=m（a1·a+b1）+n（a2·a+b2）=mb+nb=b（m+n）=b.

∴点P（a，b）在这两个函数的生成函数的图象上．

点评：新定义是解题的切入点和突破口，要反复利用.要认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法以及计算方法等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用.然后再根据介绍的新知识、新方法进行计算，并与范例的运用进行比较，防止出错.本例中，生成函数显然是一次函数，其图象为直线，且经过原来两个函数图象的交点.所以生成函数图象就是过“交点”的一系列直线（因生成函数不仅仅表示一个函数）.

例2（2008年·绍兴）定义［p，q］为关于x的一次函数y=px+q的特征数．

（1）若特征数是［2，k-2］的一次函数为正比例函数，求k的值；

（2）设A（0，-4），若一次函数的图象经过A点，且图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积为4，求这个一次函数的特征数．

解：（1）∵特征数为［2，k-2］的一次函数为y=2x+k-2，

∴k-2=0，k=2．

（2）设这个一次函数的图象与x轴的交点为B（m，0）.

由题设， ｜m｜·4=4，故m=±2. B点坐标为（2，0）或（-2，0）.

∴由待定系数法易求得一次函数为y=-2x-4或y=2x-4.

∴特征数为［-2，-4］或［2，-4］．

点评：特征数，顾名思义就是把一次函数的特征刻画出来的“数”.给出了特征数，一次函数就确定下来了，反之也正确.特征数与一次函数形成一一对应关系.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文