古代趣题赏析

左加亭

勾股定理是数学中的一个重要定理，在古代就出现了一些和勾股定理有关的实际问题.现举几例，供同学们欣赏.

一、算秋千索长

例1 明代有一位杰出的数学家叫程大位，在他所著的《算法统宗》里有一道“荡秋千”的题：

平地秋千未起，踏板一尺离地，

送行两步与人齐，五尺人高曾记；

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，

良工高士素好奇，算出索长有几？

它的大概意思是：当秋千静止时，它的踏板离地的距离为一尺（一种非法定长度单位），将秋千的踏板往前推两步（这里的每一步合五尺），它的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺.当然这时秋千的绳索是呈直线状态的.现在问：这个秋千的绳索有多长？

解：根据题意画出示意图（如图1），设图中的OA为秋千的绳索,CD为地平面，BC为身高是5尺的人，AE为两步（相当于10尺）的距离，A处为踏板的静止位置.ＡＤ为踏板离地的距离，长度等于１尺．

设OA=x尺，则OB=OA=x尺．

FA=BE=BC－EC=5－1=4（尺）．

BF=EA=10尺，在Rt△OBF中，利用勾股定理，可得

OB2＝OF2+BF2，即x2=（x－4）2+102.解得x=14.5.

故秋千绳索的长度为14.5尺．

二、测湖深浅

例2 中世纪，印度著名数学家婆什迦罗在其著作中提出了“荷花问题”：

平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面.

忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃.

湖面之上不复见，入秋渔翁始发现.

残花离根二尺远，试问水深尺若干.

此题意思是：湖中有一支荷花高出湖面半尺,被风一吹,荷花倾斜,正好与湖面持平,且荷花与原来位置的水平距离为二尺,问湖水有多深.

解：根据题意,画出示意图（如图2）.

在Rt△ABC中，ＢＣ＝2尺.

AC=AB+BD.由勾股定理得

AB2+22＝（AB+0.5）2.

解得AB=3.75尺.

所以湖水深3.75尺.

三、丈量门宽

例3 我国最早的一部数学专著《九章算术》里有这样一道有趣的数学题：

城外一扇矩形门，和尚扛竿去量应．

横着量之四尺余，立着量之二尺剩．

对角又复比一比，斜竿恰好端抵尽．

此门宽高各几何，还有竹竿有几深？

此题理解起来比较容易，意思是说一根竹竿比一扇矩形门的宽长四尺,比门的高长二尺，与门的对角线正好一样长.求门的宽和高及竹竿的长.

解：据题意，作出示意图（如图3）.显然和尚用同一竹竿量了3次，设竹竿长为x尺，由勾股定理，得

x2=（x－2）2+（x－4）2.

整理得x2－12x+20=0，（ｘ－１０）（ｘ－２）＝０.

解得x1=10，x2=2（不合题意，舍去）.

所以，门宽AB=6尺，门高AD=8尺，竹竿长AC＝10尺.

四、折竹抵地

例4 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问：折者高几何？

此题的意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），将竹子折断，其顶端恰好抵地，抵地处与原竹子底部距离为三尺，问：原处还有多高的竹子？利用勾股定理解决本题，可先画图形，然后求解.

解：依题意作出示意图（如图4）.

已知AC+AB=10（尺）. ①

BC=3尺.由勾股定理AC2-AB2=BC2，即AC2-AB2=9.

所以（AＣ+AＢ）（AＣ-AＢ）=9.所以AＣ-AＢ=（尺）.②

①－②，得2AB=（尺）.AB==４.５5（尺）.原处还有4.55尺高的竹子.

古代数学题看起来比较有趣，但做起来有一定难度，关键是要读懂题意，能从题目中挑出有用的信息，然后利用所学的知识求解.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文