斜高定理及其应用

志　洪

斜高定理:

直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边所得的商.

如图1,Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB于D.设CA=b,AB=c,BC=a,CD=h.求证:h=.

证明:∵S△ABC=ch=ab,

∴ch=ab.h=.

应用举例

例1 在△ABC中,∠A､∠B､∠C的对边长为a､b､c.已知a=m2-1,b=2m,c=m2+1,m>1.作AB边上的高h,试求h.

解:因为a2+b2=(m2-1)2+(2m)2=m4-2m2+1+4m2=m4+2m2+1=(m2+1)2=c2,所以由勾股定理的逆定理知,△ABC是直角三角形.故由斜高定理,得h==.

例2 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D.设CA=b,AB=c,BC=a,CD=h.求证:+=.

证明:由斜高定理,得c=.又由勾股定理得a2+b2=c2.由上面两式得a2+b2=,即a2h2+b2h2=a2b2.等式两边同时除以a2b2h2,得+=.

例3 如图2,在矩形ABCD中,P为AD上一点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F.若AD=4,DC=3,求PE+PF.

解:在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=5.作DH⊥AC于点H,则在Rt△ADC中,由斜高定理,得DH==.又因为△OAD是等腰三角形,所以连接OP后可得S△OPA+S△OPD=S△OAD,即OA·PE+OD·PF=OA·DH,而OA=OD,所以PE+PF=DH=.

例4 已知△ABC中,∠C=90°,BC=a,CA=b,AB=c,AB边上的高CD=h.求证:c+h>a+b.

证明:因为∠C=90°,所以c>a,c>b,故c-a>0,c-b>0.

故c+h-a-b=c+-a-b== =>0. 所以c+h>a+b.

在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D.设CA=b,AB=c,BC=a,CD=h,求证:以a+b､h､c+h为边长的三角形是直角三角形.

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