勾股定理续新篇 借图发挥通一类

毕　艳　赵书江

两千多年前的教育家孔子曾经说过：“学而不思则罔，思而不学则殆.”意思是说，一个人学习，如果只知死记硬背，而不加以思考、消化，那他就毫无收获.图1是证明勾股定理的常用图形，实质是：分别以一直角三角形的两条直角边长为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边长为边长的正方形的面积.它是证明勾股定理的有力依据.那么，如果把图中的正方形换为其他图形，会得到什么结论呢？

思索1：把图1中的正方形换成正三角形，那么，分别以两直角边长为边长的正三角形面积之和是否等于以斜边长为边长的正三角形的面积呢？

探究：如图2，△ABC中，∠C=90°，△ABD、△BCE、△ACF均为正三角形.判断S△ＢＣＥ+S△ACF是否等于S△ABD.

因为△ABD、△BCE、△ACF均为正三角形，所以由正三角形面积公式知，S△ABD=AB2，S△ACF=AC2，S△BCE=BC2.Ｓ△ACF+Ｓ△BCE=AC2+BC2=·（AC2+BC2），又因为AC2+BC2=AB2，所以S△ABD=S△ACF+S△BCE.

思索2：图1、图2中分别是正方形和正三角形，如果换成正六边形，是否有相应的结论呢？

探究：如图3，△ABC中，∠C=90°，六边形ABDEFG、六边形BCHMNP、六边形CAOQRT均为正六边形.判断S2＋S３＝S１ 是否成立．

因为每个正六边形均由六个全等的正三角形组成，所以其面积为Ｓ＝６×ａ２（ａ表示正六边形的边长）.故S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2.S2+S3=BC2+AC2=·（BC2+AC2）.又因为AC2+BC2=AB2，所以S1=S2+S3.

思索3：再向前推进一步，就是以直角三角形各边长为边长作正n边形，是否有类似的结论呢？

回答是肯定的，因为正n边形的面积与其边长的平方都有类似的关系.由于现在所学知识及篇幅所限，思索3的问题留给读者自己探究.

思索1至思索3，由课本中一幅图经过修改得出一系列的结论或者说更一般的结论.如果对于课本的每一题都如此这般进行思考，同学们的数学素养一定会有很大的提高.思维在人们认识客观世界、进行发明创造中具有重要的作用.古今中外成功者的事例无不证明了这一点.牛顿思考苹果落地发现了万有引力定律，波义尔思考紫罗兰发明了指示剂……一个人从接受知识到运用知识，实际上就是一个记与识、学与思的过程.学是思的基础，思是学的深化，这正如人摄取食物一样．只学不思，那是不加咀嚼，囫囵吞枣，食而不化，难以吸收，所学知识无法为“己有”.只有学而思之，才能将所学知识融会贯通.

如图4，分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示.确定S1、S2、S3之间的关系，并证明你的结论.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文