妙用勾股定理证题

吴　健

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征（一个角是直角）转化成数的关系（三边之间满足c2=a2+b2），使数与形联系了起来.在证题时，构造直角三角形并运用勾股定理，可使问题化难为易.有时，这种用代数方法解几何题的思路，要比纯几何的解法更容易把握.

例1如图1，AM是Rt△ABC的中线，∠C=90°，MN⊥AB于N.求证：AN2-BN2=AC2.

证明：在Rt△AMN中，由勾股定理得AN2=AM2-MN2.在Rt△BMN中，由勾股定理得BN2=BM2-MN2.

∴AN2-BN2=AM2-BM2.

又因AM是中线，MC=MB，故AM2-BM2=AM2-MC2=AC2.故AN2-BN2=AC2.

例2如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°.AD⊥BC于D.求证：AB2=BD·BC.

证明：BD·BC=BD（BD+CD）=BD2+BD·CD=BD2+[（BD+CD）2-BD2-CD2]=BD2+（BC2-BD2-CD2）=（BD2+BC2-CD2）=[BD2+BC2-（AC2-AD2）]=（BC2-AC2+BD2+AD2）=AB2.

总结：对于求证式是一些线段平方关系的几何题，可以借助勾股定理进行转化和变形.例2中将乘积BD·CD转化为“和”的形式，是重要的变形.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文