“实数”中的数学思想

奕　生

数学的研究和发展离不开数学思想的指导.如果没有数学思想,数学的知识就会像一盘零散的珠子,显得支离破碎.数学思想虽然不像数学知识那样具有可操作性,但它却贯穿于初中数学的始末,活跃于各部分内容之中.就实数内容而言,其中所体现出来的数学思想主要有以下几种.

一､分类思想

把实数分为有理数和无理数,就是分类思想,也称分类讨论思想.在解决问题过程中,将问题划分为若干个既不重复也不遗漏的小问题,然后一一解决的方法叫做分类讨论法.应用分类讨论可以起到两个作用,一是能使复杂､难于解决的问题简单化,二是当问题条件模棱两可时,通过分类讨论可以确定出准确的答案.

例1 已知a､b都是实数,其中一个是无理数,一个是非负整数,且 a+b=1.如果a+b存在最大值,求a､b的值.

解析:显然,b=1- a,所以a+b=a+1- a=(1- )a+1.

因为a+b存在最大值,而1- <0,所以a应有最小值.

如果a是无理数,则a不存在最小值,从而a+b也不存在最大值.因此,a是非负整数.

当a=0时,b=1,a､b都是整数,与已知条件不符.

当a=1时,b=1- ,此时a､b符合条件.

此时,a+b的最大值为- .

二､方程思想

在确定公园的宽度､梯子的高度时,课本上采用的是列方程求解的方法,这就是方程思想的运用.方程思想就是指构造方程模型解决有关问题.这种思想在解应用题时用得最多,但在几何中的运用也不容小看.

例2 图1是一模具的横截面,下面是一个正方形,上面是以正方形边长为直径的半圆.已知正方形的面积为10,求横截面的总面积.

解析:要求半圆面积必须先求出半径. 可以先设半圆半径为x,则正方形边长为2x.所以可以列出方程(2x)2=10.求得x= .所以半圆面积S1= x2= = .所以横截面总面积S= +10.

三､数形结合思想

“实数与数轴上的点一一对应”,说明任何一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示.反过来,数轴上任何一个点都可以表示一个实数.这种关系体现出来的就是数形结合的思想.“数”与“形”相辅相成,取长补短,正如我国著名数学家华罗庚所说,“数缺形时少直观,形无数时难入微”.因此,在解题中要充分利用图形的直观性和代数计算的精确性.

例3 已知实数a､b､c满足a<0

解析:要化简原式,必须先搞清楚里面四个代数式的值的符号,即a+b+c,a-b,b-c,c-a的符号.运用数形结合思想,在数轴上标出a､b､c的位置.首先,由a<0,b>0,得c>0.再根据它们绝对值的大小,在数轴上标出a､b､c的位置.如图2.

显然,a+b+c>0,a-b<0,b-c<0,c-a>0.

所以,原式=a+b+c-a+b-b+c-c+a=a+b+c.

四､整体思想

整体思想是指将零散的几部分作为一个整体进行处理的一种思想方法.这种思想方法的运用,可以使问题“化零为整”,干净利落地解决.常见的换元法实际上就是整体思想的具体体现之一.

例4已知a2+b2=10,ab=4,求a-b的值.

解析:如果先分别求出a､b的值,则有相当大的难度.分别把a-b､a2+b2和ab作为一个整体,由完全平方公式,得(a-b)2=a2+b2-2ab=10-8=2.所以a-b=± .

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文