以“退”为“进”类比解题

庄亿农

一堂有理数习题课上，我出了这样一道题：在一条笔直的街道上有依次排列的n（n＞1）个订奶户，我们要设置一个牛奶供应点P，使这n个订奶户到供应点P的距离之和最小，这个点应建在何处？

看完题目后，教室里一片寂静，好一会儿没人说话．我启发道：“俗话说得好，‘退一步海阔天空，数学解题也是如此，对于一些复杂的数学问题，适当地退是为了更好地进，正如我国著名数学家华罗庚所说的‘善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．同学们能不能采用退的方法来探究这个问题呢？”

话音刚落，平时喜欢发言的超超同学站起来说：“老师，我发现，如果这条街上只有A1与A2两个订奶户，因为A1与A2两户所走的距离之和就等于A1A2之间的距离，所以供应点P可建在A1与A2之间的任何地方，如图1所示．对吗？”

“对的！同学们再想想，如果这条街上有3个订奶户，那么供应点P情况又如何呢？” 我说道．“老师，我来说．”坐在讲台旁的芳芳说道，“如果A1、A2、A3如图2所示排列，我看供应点P应设在A2处最合适，这是因为如果P放在A2处，A1与A3两户所走的距离之和恰好为A1与A3之间的距离．而如果把P放在别处，例如D处，如图2所示，那么A1与A3两户所走的距离之和仍是A1与A3之间的距离，可是A2户还得走从A2到D的这一段，这是多出来的，因此，P放在A2处是最佳选择．”

“很好！芳芳同学说得非常好！根据上面两位同学探究的结果，大家看看如果这条街上有4个订奶户，5个订奶户，…，n个订奶户，供应点P应设在何处？”我笑着说．性急的小虎立即答道：“如果有4个订奶户，P应设在第2个和第3个订奶户之间的任何地方；如果有5个订奶户，P应设在第3个订奶户处；如果有n个订奶户，P应设在第（n+1） 个订奶户处．”“不对！”和小虎同桌的小明反驳道，“老师，小虎说得不全面！应对n分类进行考虑，当n为奇数时，就是小虎所说的情况；当n为偶数时，P应设在第n和第n+1个订奶户之间的任何地方．”

我赞许地点点头说：“是的，我们考虑问题一定要全面，不能顾前不顾后．”我顿了顿，继续说道：“同学们，下面我们将这个问题引申一下，有哪位同学能看出如何求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值？”

数学课代表玲玲道：“老师，我们可以把|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|转化为一条直线上有617个点，要求其最小值，就是在直线上找一点，使它到各点的距离和最小，这就是上面确定供应点P位置问题．由于从1到617有奇数个点，因此这一点应选在309对应的位置，这样|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值就为2×（1+2+…+308）=95 172．”

我高兴地连声赞叹道：“我们的同学都很聪明，今天通过探究，解决了牛奶供应点位置的确定问题．实际上在解决这个问题时，我们用到了数形结合思想、分类思想、转化思想及以‘退为‘进的解题方法，通过对实际问题的探索，又巧妙地把原本比较抽象的代数中的绝对值问题，转化为看得见摸得着的‘形的问题，使同学们感到抽象的不再抽象，希望大家好好地反思和总结，争取得到更大的收获！”

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