握手握出的数学问题

2008-10-15康松

中学生数理化·七年级数学北师大版 2008年9期

康　松

学校召开运动会,参加1 500m长跑的第一组的9位同学来到检录处点名,他们互相握手致意. 检录处的王老师看得眼花缭乱,不过他却发现每两位同学之间都握了一次手. 于是,王老师给同学们提出了一个问题:“谁能说出9位同学一共握了多少次手?”你能为他们解答这一问题吗?让我们一起来探究一下.

这其实是一个数学问题,所以应该考虑用数学的方法解决. 我们可以给这9位同学编上号,从第1位同学到第9位同学,分别是1至9号. 那么,要想解答这一问题,方法起码有3种.

第一种方法是没有规律地乱数,但这样很容易数错,很可能会产生遗漏或是重复的情况.

第二种方法是从左往右按顺序有规律地数,即:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9);

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9);

(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9);

(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9);

(5,6),(5,7),(5,8),(5,9);

(6,7),(6,8),(6,9);

(7,8),(7,9);

(8,9).

所以他们握手的次数可以这样计算:8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.

第三种方法是分析推理:因为每位同学都要与另外8位同学握手,也就是说每位同学都要握8次手,那么9位同学就一共要握8×9=72次手. 但是,因为每两位同学之间握的一次手实际上都统计了两次,比方说我们统计了一次1号同学与2号同学握手,又统计了一次2号同学与1号同学握手,所以实际握手次数是72 ÷ 2 = 36.

比较一下可以知道,显然是第三种方法最简捷,也最准确. 比方说10位同学之间都握了一次手,那么握手的次数就应该是9 × 10 ÷ 2 = 45. 而且,即使有很多人握手,我们同样可以根据这一规律进行计算:如果一共有n个人之间互相握手,那握手的总次数就是.

这一规律可不是只能用来计算握手的次数,在代数与几何中都能发现它的身影.

例1 如图1,已知线段AF上有B､C､D､E四个点,那么图中共有多少条线段?

图1

图中的每条线段都是两个端点之间的连线,我们可以把它看做两个点之间的握手,这样我们就可以利用上述规律进行计算. 因为本题中有6个点,即n = 6, == 15. 则图中共有15条线段.

换个角度:已知线段AF上共有15条线段,则在线段AF上除A､F外共有几个点?

设在线段AF上共有n个点,则 = 15,解得n = 6,即在线段AF共有6个点,再去掉A､F两个端点,可得6 - 2 = 4,在线段AF上除A､F外共有4个点.

例2 如图2,已知∠AOB中有三条射线OC､OD､OE,请问图中共有几个角.

图2

图中的每个角都是两条线段之间的夹角,我们可以把每个角看做两条线段之间的握手,这样我们同样可以利用上述规律进行计算. 因为本题中有5条线段,即n=5, == 10. 则图中共有10个角.

换个角度:已知有公共端点的n条射线共形成了10个角,求n的值.

= 10,解得n = 5,即共有5条射线.