消点法的运用（一）

张景中　彭翕成

几何题千变万化，解无定法，这似乎已经成为2 000年来人们的共识.但人们还是没有放弃，一直都在寻找一种“通法”.这里所说的通法，并不是说它能够解决所有的几何问题，而是指它能够解决几何中的很大一类问题.下面我们要介绍的就是这样的一种通法——消点法.一般说来，只要题目中的条件可以用尺规作图表示出来，并且结论可以表示成常用几何量的多项式形式（常用几何量包括面积、线段及角的三角函数），那么，就总可以用消点法一步一步地做出解答.

首先，我们用一个例子来介绍什么是消点法.

例1如图1，在?荀ABCD中，E、F分别为AD、CD的中点.连接BE、BF，它们分别交AC于点R、T.求证：R、T分别为AC的三等分点.

很多人在做几何题的时候，即使书本上已经画好了几何图形，仍然会在草稿纸上重新画一遍.这样做，一是担心添加辅助线的时候把书本上的图形搞乱了，二是重新作图也有利于理解题目意思.其实，几何题难就难在不知道如何作辅助线.作辅助线属于人类独有的高级智慧，既需要平时大量的积累，更需要解题时的“灵机一动”.能不能避开作辅助线呢？也是可以的.消点法就不需要作辅助线，但要求深入理解题目意思.

下面我们来重新作图，要特别注意作图的顺序哟！

第一步：在平面上作A、B、C三点.这三个点是任意画的，不受约束.当然，A、B、C三点不能在一条直线上，否则下面的图形就没法画下去了.

第二步：作点D，使得AD∥BC，DC∥AB.

第三步：连接AC，并作出AD中点E和CD中点F.

第四步：连接BE交AC于点R，连接BF交AC于点T.

在该图形中的所有点中，我们把A、B、C三点称之为“自由点”，而将其他点称之为“约束点”.之所以这样划分，是因为一旦A、B、C三点位置确定，那么其他点的位置也随之确定，没有变动的可能了.

为了证明点T是AC的三等分点，从图形可以看出需要证明= 2.我们的思路是：要证明的等式左端牵涉到好几个点（A、C、T），但右端却只有数字2，如果想办法把字母A、C、T都消掉，不就水落石出了吗？在这种思想的指导下，我们首先着手从式子 中消去最晚出现的点T.

用什么办法消去一个点，这要看此点的来历和它出现在什么样的几何量中.点T是AC、BF相交产生的，用我们前面所介绍的共边定理共边定理的内容是：若直线AB和PQ相交于点M，则有：= 可得：=.这就成功地消去了点T.此时却多出了个点F.下一步就要消去点F.根据点F的来历“点F是CD的中点”，则S△CBF =S△BCD .由点F是CD上的点，且AB∥DC，则有S△ABF = S△ABC.接下来消去点D.根据点D的来历“AD∥BC”，则S△BCD = S△ABC .于是一个简洁的证明产生了：= = = 2•= 2.同理，可再证点R是AC的三等分点.

现在我们来总结一下.上题解题的顺序和点的排列大有关系.题目的结论是= 2.怎么处理这个式子呢？解二元一次方程组有“消元法”.把未知数一个一个地消去，消到后面就解决了.这个方法在解几何题的时候也可以借用，不妨称之为“消点法”.消点法，就是从我们要处理的式子中消去约束点.约束点消完了，问题往往就水落石出了.消约束点有个顺序：后产生的先消去.在式子 中，点T是最后产生的，就先消点T.怎样消去点T ？就要查查点T的来历，正所谓“解铃还须系铃人”.依此类推即可.如果在消点的过程中，出现了新的约束点，也要按照顺序消除.一般来说，自由点是不需要专门想办法消掉的，到一定的时候，自然就会消掉.

例2如图2，一个不规则四边形ABCD，其中AG = GH = HD，BE = EF = FC.分别连接EG、FH.求证：S四边形ABCD = 3S四边形 GEFH.

证明：根据作图顺序，将点分为两个级别.第一级别：A、B、C、D；第二级别：G、E、F、H.

我们先消去G、F两个点.

S四边形GEFH = S△GEH + S△EFH =S △AEH +S△CEH .

再消去E、H两个点. S△AEH +S△CEH =S四边形AECH =S△AEC +S△CHA =• S △ABC +• S△CDA =S四边形ABCD.

所以S四边形ABCD = 3S四边形 GEFH.

例3如图3，四边形ABCD的边AD、BC的延长线交于点E，对角线AC、BD的中点分别为F、G，求 .

解析：我们将题目中的点分为两个级别.第一级别：A、B、C、D；第二级别：E、F、G.下面给出求法.

S△EFG = S△EAG - S△EAF - S△AFG （S△ADG + S△EDG） -S△EAC -S△ACG = S△ADB +S△EDB -S四边形AGCE =S△ABE -S四边形AGCES四边形 ABCG• S四边形ABCD =S四边形ABCD.所求的值为 .

在A、B、C、D四点确定之后，E、F、G三点也随之确定，而E、F、G三点之间并无明确的先后顺序.

在很多题目中，并不需要将点的级别分得很细.譬如在例1中，完全可以将A、B、C、D看成是一个级别，因为我们对平行四边形的性质已经比较了解，没有必要在熟悉的地方再做文章.又如在例3中，也不必将E、F、G再分成几个级别.熟练之后，甚至不需要再在稿纸上作图.眼睛一扫，题目各点的来龙去脉全部都清楚了，因为很多题目的条件也是按照作图顺序进行叙述的.这也是一些解题高手能够记住很多题目的原因.下一期，我们将列举更多的例子，继续介绍消点法的运用.Y

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”