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实数大小巧比较

2008-09-27陈鹏飞

关键词:底数正数负数

陈鹏飞

“实数”是初中数学的重要内容之一,也是学好其他知识必不可少的基础.实数的大小比较又是中考及数学竞赛的常见题型,不少同学感到困难.为帮助同学们掌握好这部分知识,本文介绍几种比较实数大小的常用方法,供同学们参考.

一、数轴比较法

根据数轴的性质“实数与数轴上的点一一对应”,“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”,利用数形结合来进行比较.这种方法特别适用于同时比较多个实数的大小.

例1用“<”连接下列各数:-,0.4,-,0,2 ,-,- 2.5.

解析:将以上各数在数轴上表示出来,图略.

根据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”,得

- 2.5 < - < - < 0 < 0.4 < - < 2 .

二、法则比较法

根据实数大小比较法则“正数都大于0,负数都小于0;正数大于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小”来进行比较,这是比较实数大小最常用的方法.

例2在下列两个数之间填上适当的不等号.

(1) - ;(2) -- .

解析:(1)因为 - < 0,> 0,根据正数大于一切负数,得到- <.

(2)-≈1.57,-≈1.41.

由于1.57 > 1.41,根据“两个负数,绝对值大的反而小”得到 - < - .

三、分子(分母)比较法

比较分数大小时,根据正数间“分子(分母)相等,分母(分子)大的反而小(大)”来进行比较.

例3用“<”连接下列各数:-,-,-,-.

解析:本例若将各数化成同分母,运算量很大,过程复杂烦琐,可考虑将它们化成同分子来比较:- = -,- = -,- = -.由于> > >,再根据两个负数绝对值大的反而小,得

- < - < - < -,即 - < - < - < -.

四、作差比较法

根据“当a - b > 0时,a > b;a - b = 0时,a = b;a - b < 0时,a < b”来比较.

例4在下列两数之间填上适当的不等号.

(1) ;(2)3 -- 2.

解析:(1)因为作差比较有- = === -< 0,所以<.

(2)因为(3 -) - (- 2) = 5 - 2= (-)2 > 0,所以3 - > - 2.

五、作商比较法

根据“a,b均为正数.当> 1时,a > b;当= 1时,a = b;当< 1时,a < b”来比较.

例5在下列两数之间填上适当的不等号.

(1) --;(2)--.

解析:(1)由÷ = × = < 1,得<.再根据两个负数绝对值大的反而小,得 - > -.

(2)

六、倒数比较法

根据两正数间“若>,则a < b”来比较两实数的大小.

例6在下列两数之间填上适当的不等号.

解析:(1)= 10 +,= 10 +.

由于>,所以>.则<,再根据两个负数绝对值大的反而小,得到 - > -.

(2)= +,

七、加数比较法

根据“由a + c > b + c可得a > b”来比较两实数的大小.

例7用“<”把下列各数连接起来:- ,- ,- ,- .

解析:由于所给各数的绝对值都与1比较接近,所以将各数都加上1,得到

- + 1 =, - + 1 =, - + 1 =,- + 1 =.

显然< < <,所以 - < - < - < -.

八、指数(底数)比较法

根据“a > b > 0,n为正整数,则an > bn”或“若N > 1,a > b,则Na > Nb”比较两实数的大小.

例8(1)350,440,530的大小关系为().

A. 350 < 440 < 530 B. 530 < 350 < 440

C. 530 < 440 < 350 D. 440 < 530 < 350

(2)8131,2741,961的大小关系为().

A. 8131 < 2741 < 961 B. 8131 < 961 < 2741

C. 2741 < 961 < 8131 D. 961 < 2741 < 8131

解析:(1)化成同指数,通过比较底数的大小来比较幂的大小.

350 = (35)10 = 24310,440 = (44)10 = 25610,530 = (53)10 = 12510.

因为25610 > 24310 > 12510,所以530 < 350 < 440.

故应选B.

(2)化成同底数,通过比较指数的大小来比较幂的大小.

8131 = (34)31 = 3124,2741 = (33)41 = 3123,961 = (32)61 = 3122.

因为3124 > 3123 > 3122,所以961 < 2741 < 8131.

故应选D.

九、中间值比较法

根据“若a < b,b < c,则a < c”来比较两实数的大小.

例9比较 -1与 +1的大小.

解析: - 1 < - 1 = 45 - 1 = 44,+ 1 >+ 1 = 43 + 1 = 44.

所以- 1 < + 1.L

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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