台球桌上的轴对称变换

沈植东　张家德

随着丁俊晖在世界斯诺克比赛中的一举成名和斯诺克中国公开赛的成功举办，越来越多的中国青少年都喜欢上了台球这一高雅的体育运动.下面，我们一起来解读其中包含的数学知识.

先解释一个台球常用名词，就是“库”．台球桌面的四周用台呢包覆、用富有弹性的橡胶条衬里的边岸，英文名叫cushion，我国台球界称之为“库”（其英文的译音）．

利用库来解救球，就是当击打主球无法直接击中目标球时，击打主球，通过库的反弹击中目标球.其中要用到反射角等于入射角和轴对称变换等知识.因为台球桌有四个边库，因此解球就分一库解球、二库解球、三库解球和四库解球等多种情况.其实，只要掌握了一库解球的原理，其他多库解球也就容易理解了.

1. 一库解球

如图1所示，要使主球A通过上边库反弹击中目标球B，可以作出目标球B关于上边库的对称点B1，只要对准目标球B的对称点B1，也就是对准AB1与上边库的交点C击打主球A，就能实现一库解球了．

2. 二库解球

在台球运动中，当障碍球较多时，经常遇到一库不能解球的局面，这时就要用二库进行解球．由于台球桌上各种形势都会出现，所以视情况的不同会采用以下两种二库解球方法.

（1）相邻二库解球.

如图2，主球A要通过上边库和右边库击中目标球B，可对准目标球B的二次对称点B2，击打主球A，就能实现二库解球.其中B和B1关于右边库对称，B1和B2关于上边库对称.而点C是AB2与上边库的交点，点C1是CB1与右边库的交点.也可以如图3所示，利用下边库和右边库解球.

主球在两个边库上的反弹点C和C1也可以如图4所示来找到.其中点A和点A1关于上边库对称，点B和点B1关于右边库对称.点C和C1是A1B1与两边库的交点.

（2）对折二库解球（N形解球）.

二库解球的又一种形式是利用上下库（或左右库）的“对折”来实现的，称为N形解球.如图5所示．其中A、A1关于上边库对称，B、B1关于下边库对称.A1B1交上边库于点C，交下边库于点C1.

3. 三库解球

台球的三库解球比二库解球更复杂.一般人认为难以确定解球反弹点，因此都望而却步． 实际上，首先确定主球A的对称点A1，再确定目标球B的对称点B1和二次对称点B2，就不难找到三个边库上的反弹点了．如图6所示.

4. 四库解球

在图7中，主球A和目标球B各处一方．这种球势可用主球和目标球各自的二次对称点来确定反弹点的位置，实现四库解球．

不过，四库或更多的“库”的解球，在实际中意义不大，因为单凭肉眼难以确定反弹点.当然，做为数学问题，更多“库”的解球，理论上也可以一步一步精确地确定下来.

通过上面的解读，相信同学们对轴对称变换在台球里的应用有了一定的了解.这里的关键就是：找出主球、目标球关于有关库的对称点，必要时，再作出这些对称点关于有关库的对称点，连接适当的点就可得到要求的击球线路了.下面请大家试着完成下列题目，进一步加深对轴对称变换的理解.

练习

1. 如图8，网格表示台球桌面，小球从（7，2）处被击打，经过反弹，那么该球击中x轴上的点的坐标是__.

2. 如图9，ABCD是一台球桌面，有白色、黑色球分别处在M、N两点位置上.要怎样撞击白球，经台边AB、BC连续反弹后，能准确击中黑球？试画出击球线路.不写作法，保留作图痕迹.

3. （2006年·苏州）台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学、几何学知识.图10所示的是一个台球桌面，目标球F与主球E之间有一个G球阻挡.

击球者想通过击打E球，让E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球，他应该将E球打到AB边上的哪一点？请作出这一点，并作出E球的运行路线（不写作法，保留作图痕迹）.